La fonction racine carrée

I. Définition

La fonction racine carrée est définie sur $\mathbb{R}^+$, c’est-à-dire pour tous les nombres réels positifs ou nuls.

Pour tout $x\geq 0$, on définit $f(x) = \sqrt{x}$.

$\mathbb R^+$ peut s'écrire également $[0\,;\,+\infty[$.

Exemples :
$f(0) = \sqrt{0} = 0$
$f(1) = \sqrt{1} = 1$
$f(4) = \sqrt{4} = 2$
$f(9) = \sqrt{9} = 3$

Tableau de valeurs :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\\hline \sqrt{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline\end{array}$

La courbe représentative de la fonction racine carrée passe par les points :
$(0;0), (1;1), (4;2), (9;3), (16;4)$

L'ensemble de définition de la fonction racine carrée n'est pas symétrique par rapport à $0$, la fonction racine carrée est ni paire ni impaire.

II. Représentation graphique

On dit qu'on a dessiné la courbe d'équation $y=\sqrt x$.

III. Comparaison des images de deux valeurs

Cela signifie que :
Si $0 \leq a \leq b$, alors $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$

On peut comparer les images de deux réels positifs ou nuls. les images sont rangées dans le même ordre que les valeurs.

⚠️ Attention :
La fonction $\sqrt{x}$ n’est pas définie pour les nombres négatifs. On ne peut donc pas l’utiliser avec un nombre comme $-4$ ou $-1$.

IV. Exemple

Complète le tableau suivant en calculant les images par la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0{,}25 & 1 & 2{,}25 & 4 & 9 \\\hline f(x) = \sqrt{x} & ? & ? & ? & ? & ? \\\hline\end{array}$

Consigne : Écris également une inégalité montrant le rangement de deux valeurs au choix et de leurs images.

Solution :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0{,}25 & 1 & 2{,}25 & 4 & 9 \\\hline f(x) = \sqrt{x} & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 3 \\\hline\end{array}$

Les images augmentent quand les antécédents augmentent.
Par exemple, $0{,}25 \lt 2{,}25$ donc $\sqrt{0{,}25} \lt \sqrt{2{,}25}$.