La fonction inverse

⚠️ A ne jamais oublier : on ne peut pas diviser par $0$.

I. Définition

La fonction inverse $f$ est définie pour tout nombre réel différent de 0 par : $f(x) = \dfrac 1x$.

On dit que la fonction inverse est définie sur $\mathbb R^*$, qui est une écriture de $\mathbb R\setminus\{0\}$ qui s'écrit également comme la réunion (symbole $\cup$) d'intervalles de $\mathbb R$.

$\boxed{\mathbb R^*=\mathbb R\setminus \{0\}=]-\infty\,;0[\cup]0\,;+\infty[}$

Tableau de valeurs :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -2 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 \\\hline \dfrac{1}{x} & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} & -1 & -2 & 2 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\\hline\end{array}$

Remarque :
La fonction inverse n'est pas affine.

II. Parité

L'ensemble de définition est $\mathbb R$ qui est bien un ensemble symétrique par rapport à $0$.
Pour tout $x$ de $\mathbb R^*$, $-x$ appartient à $\mathbb R^*$ et $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$.

La fonction inverse est une fonction est impaire.

Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

III. Représentation graphique

Définition :
La représentation graphique de la fonction carrée se nomme hyperbole.

On dit qu'on a dessiné la courbe d'équation $y=\dfrac 1x$.

IV. Comparaison des images de deux valeurs

Soient $a$ et $b$ deux nombres de même signe, mais différents de $0$.

Les images de $a$ et $b$ par la fonction inverse sont rangées en sens contraire de $a$ et $b$.

Les deux images ont le même signe que les deux valeurs $a$ et $b$.

Exemple 1 : $0< 2 < 3$ donc $0<\dfrac 13<\dfrac 12$

Exemple 2 : Si $0<x<4$ alors $0<\dfrac 14<\dfrac 1x$ ce qui peut s'écrire aussi

si $x\in ]0\,;\,4[\;,\text{ alors } \dfrac1x\in\left]\dfrac 14\,;\,+\infty\right[$