La fonction carré (2)

Exercice 1

1. $x \in [2 ; 4]$
   La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
   Par conséquent $2^2 \leq x^2 \leq 4^2$ soit $4 \leq x^2 \leq 16$.

2. $x \in [-5 ; -2]$
   La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$.
   Par conséquent $(-2)^2 \leq x^2 \leq (-5)^2$ soit $4 \leq x^2 \leq 25$.

3. $x \in [-4 ; 3]$
   La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$.
   Donc si $x \in [-4 ; 0]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq (-4)^2$ soit $0 \leq x^2 \leq 16$.

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Donc si $x \in [0 ; 3]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq 3^2$ soit $0 \leq x^2 \leq 9$.

Par conséquent si $x \in [-4 ; 3]$ alors $0 \leq x^2 \leq 16$.
C'est flagrant quand on trace la courbe.

4. $x \in [-5 ; 1[$
   La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$.
   Donc si $x \in [-5 ; 0]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq (-5)^2$ soit $0 \leq x^2 \leq 25$.

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Donc si $x \in [0 ; 1[$ alors $0^2 \leq x^2 < 1^2$ soit $0 \leq x^2 < 1$.

Par conséquent si $x \in [-5 ; 1[$ alors $0 \leq x^2 \leq 25$.
Remarque : la valeur $1$ est atteinte pour $x = -1$.

👉 Petit conseil : un encadrement se lit directement sur les valeurs extrêmes possibles.

Exercice 2

La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$.
Or $-5 < -3 < 0$ donc $(-5)^2 > (-3)^2$.

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Or $0 < 2 < 6$ donc $2^2 < 6^2$.

La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$.
Or $-\sqrt{5} < -\sqrt{3} < 0$ donc $(-\sqrt{3})^2 < (-\sqrt{5})^2$.

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Or $1 + \frac{1}{3} \approx 1,33 < 1,5$ donc $1,5^2 > \left(1 + \frac{1}{3}\right)^2$.

👉 Petit conseil : pour comparer des carrés, compare d’abord les nombres avant de les mettre au carré.