La fonction exponentielle : je consolide les bases du cours

Exercice 1

On complète les égalités suivantes.

1. Calculer $e^0$.
   On utilise la propriété : pour tout réel $x$, $e^0 = 1$.
   Donc $e^0 = 1$.
   👉 Conseil : $e^0$ vaut toujours $1$, comme pour toutes les puissances non nulles.

2. Calculer $e^1$.
   Par définition, $e^1 = e$.
   Donc $e^1 = e$.
   👉 Conseil : $e$ est un nombre, environ $2,72$, mais ici on garde l’écriture exacte $e$.

3. Écrire $e^{-2}$ sous la forme d’une fraction.
   On utilise la propriété : pour tout réel $x$, $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$.
   Donc $e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$.
   👉 Conseil : un exposant négatif signifie “inverse”.

4. Simplifier $e^{3} \times e^{2}$.
   On utilise : $e^a \times e^b = e^{a+b}$.
   Donc $e^{3} \times e^{2} = e^{3+2} = e^5$.
   👉 Conseil : quand on multiplie des exponentielles de même base, on additionne les exposants.

5. Simplifier $\dfrac{e^{5}}{e^{2}}$.
   On utilise : $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$.
   Donc $\dfrac{e^{5}}{e^{2}} = e^{5-2} = e^3$.
   👉 Conseil : quand on divise des exponentielles de même base, on soustrait les exposants.

Exercice 2

On simplifie les expressions suivantes.

1. Simplifier $e^{2x} \times e^{3x}$.
   On utilise : $e^a \times e^b = e^{a+b}$.
   Ici $a = 2x$ et $b = 3x$.
   Donc $e^{2x} \times e^{3x} = e^{2x+3x} = e^{5x}$.
   👉 Conseil : commence par regrouper les exposants, puis simplifie $2x+3x$.

2. Simplifier $\dfrac{e^{4x}}{e^{x}}$.
   On utilise : $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$.
   Ici $a = 4x$ et $b = x$.
   Donc $\dfrac{e^{4x}}{e^{x}} = e^{4x-x} = e^{3x}$.
   👉 Conseil : tu peux écrire $4x-x$ avant de simplifier, pour éviter les erreurs.

3. Simplifier $(e^{x})^3$.
   On utilise : $(e^x)^n = e^{nx}$.
   Donc $(e^{x})^3 = e^{3x}$.
   👉 Conseil : attention, on ne fait pas $e^{x^3}$, on multiplie l’exposant par $3$.

Exercice 3

On résout les équations suivantes.

1. Résoudre $e^x = e^4$.
   On utilise la propriété : $e^a = e^b \Leftrightarrow a=b$.
   Donc $x = 4$.
   👉 Conseil : c’est le cas le plus simple, on “enlève” le $e$ car la fonction exponentielle est strictement croissante.

2. Résoudre $e^{2x} = e^8$.
   On utilise la propriété : $e^a = e^b \Leftrightarrow a=b$.
   Donc $2x = 8$.
   On divise par $2$ : $x = 4$.
   👉 Conseil : pense à isoler $x$ comme dans une équation classique.

Exercice 4

On complète les phrases suivantes.

1. Si $x < y$, alors $e^x \ldots e^y$.
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
   Donc, si $x < y$, alors $e^x < e^y$.
   👉 Conseil : garde en tête l’idée “plus l’exposant est grand, plus $e^x$ est grand”.

2. Si $e^a = e^b$, alors $a \ldots b$.
   On utilise : $e^a = e^b \Leftrightarrow a=b$.
   Donc $a = b$.
   👉 Conseil : c’est une propriété clé pour résoudre rapidement les équations avec $e$.