Initiation

Premiers exercices sur la fonction exponentielle

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Énoncé

Exercice 1

Simplifier les écritures suivantes :
e5e2,e3e−1,(e−2)2e.\dfrac{e ^5}{e ^2}\quad , \quad e ^3 e ^{-1} \quad ,\quad \dfrac{(e ^{-2})^2}{e} \quad .

Exercice 2

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

  1. exp ( e ) = 1

  2. exp (xy)=exp(x)exp(y)

  3. exp (x) > 0 ≡\equiv x > 0

Exercice 3

Montrer que pour tout x≠0,ex+1ex−1=1+e−x1−e−xx \neq 0\quad , \quad\dfrac{e ^x + 1 }{e ^x - 1}=\dfrac{1+e ^ {-x}}{1-e ^ {-x}}

Exercice 4

Résoudre dans R\mathbb R les équations ou inéquations suivantes :

  1. ex−1=1e^{x-1}=1

  2. e−x+2=e2+x2e^{-x+2}=e^{2+x^2}

  3. ex=2e−xe ^x = \dfrac{2}{e ^{-x}}

  4. e−2<−1e ^{-2} < -1

  5. e(x−1)2≥1e ^{(x-1)^2}\ge 1

Exercice 5

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb R par f(x)=ex(ex+1)2f(x)=\dfrac{e ^x}{(e^x+1)^2}
Étudier la parité de la fonction ff et en déduire un élément de symétrie pour la courbe représentative de ff dans un repère du plan.

Révéler le corrigé

Exercice 1

e5e2=e5−2=e3\dfrac{e ^5}{e ^2}=e ^{5-2}=e ^3

e3e−1=e3+(−1)=e2e ^3 e ^{-1}=e ^{3+(-1)}=e ^2

(e−2)2e=e−4e1=e−4−1=e−5\dfrac{(e ^{-2})^2}{e}=\dfrac{ e ^{-4}}{e ^1}= e ^{-4-1}=e ^{-5}

Exercice 2

  1. exp ( e ) = 1 FAUX. En effet, 1=e01= e^0 et ne peut donc pas être égal à exp ( e ) qui est l'écriture de eee ^e.

  2. exp (xy)=exp(x)exp(y) FAUX
    Prenons un contre exemple : choisissons x=y=1x=y=1 ;
    xy=1xy=1 donc exp (xy)=exp (1)= e
    et exp(x)exp(y)=exp(1)exp(1)=e \times e = e^2;or ; or e \neq e^2,donclapropositionestfausse.</p></li><li><p>exp(x)>0, donc la proposition est fausse.</p></li><li><p>exp (x) > 0 \equivx>0<strong>FAUX</strong><br>Contreexemple: x > 0 <strong>FAUX</strong><br>Contre exemple : x= -3.exp(−3)>0carlafonctionexponentielleneprendquedesvaleursstrictementpositives.Iln′estdoncpasneˊcessaireque. exp(-3) > 0 car la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Il n'est donc pas nécessaire que xsoitpositif.</p></li></ol><h2>Exercice3</h2><p>Soit soit positif.</p></li></ol><h2>Exercice 3</h2><p>Soit x \neq 0\quad , \quad \dfrac{e ^x + 1 }{e ^x - 1}= \dfrac{e^x (1 + e ^{-x}) }{e^x (1- e ^{-x})}= \dfrac{1 + e ^{-x} }{1- e ^{-x}}</p><h2>Exercice4</h2><p>Reˊsoudredans</p><h2>Exercice 4</h2><p>Résoudre dans \mathbb R</p><ol><li><p></p><ol><li><p>e^{x-1}=1<br><br>e^{x-1}=e ^0<br><br>x-1=0<br><br>x=1<br><br>S={1}</p></li><li><p></p></li><li><p>e^{-x+2}=e^{2+x^2}<br><br>-x+2=2+x^2<br><br>x^2-x=0<br><br>x(x-1)=0<br><br>x=0ou ou x=1<br><br>S={0,1}</p></li><li><p></p></li><li><p>e ^x = \dfrac{2}{e ^{-x}}<br><br>e ^x e ^{-x}= 2<br><br>e ^0 = 2,cequiestimpossible<br>, ce qui est impossible<br>S= \varnothing</p></li><li><p></p></li><li><p>e ^{-2} < -1<br>Uneexponentielleeˊtanttoujoursstrictementpositive,cetteineˊquationn′admetpasdesolution.<br><br>Une exponentielle étant toujours strictement positive, cette inéquation n'admet pas de solution.<br>S= \varnothing</p></li><li><p></p></li><li><p>e ^{(x-1)^2}\ge 1<br><br>e ^{(x-1)^2}\ge e ^0<br><br>(x-1)^2 \ge 0Uncarreˊeˊtanttoujourspositifounul,toutreˊelestsolutiondecetteineˊquation.<br> Un carré étant toujours positif ou nul, tout réel est solution de cette inéquation.<br>S=\mathbb R</p></li></ol><h2>Exercice5</h2><p>Soitlafonction</p></li></ol><h2>Exercice 5</h2><p>Soit la fonction fdeˊfiniesur définie sur \mathbb Rpar par f(x)=\dfrac{e ^x}{(e^x+1)^2}<br>Cettefonctionestdeˊfiniesur<br>Cette fonction est définie sur \mathbb R,ensemblesymeˊtriqueparrapportaˋ0.</p><p>, ensemble symétrique par rapport à 0.</p><p>f(-x)=\dfrac{e ^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}=\dfrac{e ^{2x}e ^{-x}}{e ^{2x}(e^{-x}+1)^2}=\dfrac{e ^x}{(e ^x(e^{-x}+1))^2}= \dfrac{e ^x}{(1+e^{x})^2} = f(x)</p><p>Enconclusion,pourtout</p><p>En conclusion, pour tout x \in \mathbb R,, f(-x)=f(x)<br>Lafonction<br>La fonction f$ est paire et sa courbe représentative dans un repère du plan est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercice suivant
Limites, variations et dérivées de fonctions exponentielles