Premiers exercices sur la fonction exponentielle

Exercice 1

$\dfrac{e ^5}{e ^2}=e ^{5-2}=e ^3$

$e ^3 e ^{-1}=e ^{3+(-1)}=e ^2$

$\dfrac{(e ^{-2})^2}{e}=\dfrac{ e ^{-4}}{e ^1}= e ^{-4-1}=e ^{-5}$

Exercice 2

1. exp ( e ) = 1 FAUX. En effet, $1= e^0$ et ne peut donc pas être égal à exp ( e ) qui est l'écriture de $e ^e$.

2. exp (xy)=exp(x)exp(y) FAUX
   Prenons un contre exemple : choisissons $x=y=1$ ;
   $xy=1$ donc exp (xy)=exp (1)= e
   et exp(x)exp(y)=exp(1)exp(1)=e \times e = e^2$; or$e \neq e^2$, donc la proposition est fausse.</p></li><li><p>exp (x) > 0$\equiv$x > 0 <strong>FAUX</strong><br>Contre exemple :$x= -3$. exp(-3) > 0 car la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Il n'est donc pas nécessaire que$x$soit positif.</p></li></ol><h2>Exercice 3</h2><p>Soit$x \neq 0\quad , \quad \dfrac{e ^x + 1 }{e ^x - 1}= \dfrac{e^x (1 + e ^{-x}) }{e^x (1- e ^{-x})}= \dfrac{1 + e ^{-x} }{1- e ^{-x}}$</p><h2>Exercice 4</h2><p>Résoudre dans$\mathbb R$</p><ol><li><p>$e^{x-1}=1$<br>$e^{x-1}=e ^0$<br>$x-1=0$<br>$x=1$<br>$S={1}$</p></li><li><p>$e^{-x+2}=e^{2+x^2}$<br>$-x+2=2+x^2$<br>$x^2-x=0$<br>$x(x-1)=0$<br>$x=0$ou$x=1$<br>$S={0,1}$</p></li><li><p>$e ^x = \dfrac{2}{e ^{-x}}$<br>$e ^x e ^{-x}= 2$<br>$e ^0 = 2$, ce qui est impossible<br>$S= \varnothing$</p></li><li><p>$e ^{-2} < -1$<br>Une exponentielle étant toujours strictement positive, cette inéquation n'admet pas de solution.<br>$S= \varnothing$</p></li><li><p>$e ^{(x-1)^2}\ge 1$<br>$e ^{(x-1)^2}\ge e ^0$<br>$(x-1)^2 \ge 0$Un carré étant toujours positif ou nul, tout réel est solution de cette inéquation.<br>$S=\mathbb R$</p></li></ol><h2>Exercice 5</h2><p>Soit la fonction$f$définie sur$\mathbb R$par$f(x)=\dfrac{e ^x}{(e^x+1)^2}$<br>Cette fonction est définie sur$\mathbb R$, ensemble symétrique par rapport à 0.</p><p>$f(-x)=\dfrac{e ^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}=\dfrac{e ^{2x}e ^{-x}}{e ^{2x}(e^{-x}+1)^2}=\dfrac{e ^x}{(e ^x(e^{-x}+1))^2}= \dfrac{e ^x}{(1+e^{x})^2} = f(x)$</p><p>En conclusion, pour tout$x \in \mathbb R$,$f(-x)=f(x)$<br>La fonction$f$ est paire et sa courbe représentative dans un repère du plan est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.