La fonction carré (1)

Exercice 1

1. Les antécédents de $36$ par la fonction carré sont solutions de l'équation $x^2 = 36$.
   $x^2 = 36$
   $x^2 - 36 = 0$
   $(x - 6)(x + 6) = 0$
   $x = 6$ ou $x = -6$
   Les antécédents de $36$ par la fonction carré sont $-6$ et $6$.

👉 Petit conseil : pour résoudre une équation du type $x^2 = a$, pense toujours à chercher deux solutions opposées quand $a > 0$.

2. On veut résoudre l'équation $x^2 = -9$.
   Un carré étant toujours positif, cette équation n'a pas de solution et $-9$ n'a pas d'antécédent par la fonction carré.

👉 Petit conseil : si le nombre est négatif, il n’a jamais d’antécédent par la fonction carré.

3. On veut résoudre l'équation $x^2 = 2$.
   Elle possède deux solutions : $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$.
   Les antécédents de $2$ par la fonction carré sont donc $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$.

4. On veut résoudre l'équation $x^2 = \dfrac{16}{49}$.
   Elle possède deux solutions $\dfrac{4}{7}$ et $-\dfrac{4}{7}$.
   Ainsi les antécédents de $\dfrac{16}{49}$ sont $-\dfrac{4}{7}$ et $\dfrac{4}{7}$.

👉 Petit conseil : pense à prendre la racine du numérateur et du dénominateur séparément.

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $[-3 ; 5]$ par $f(x) = x^2$.

a. Sur $I = [1 ; 4]$
La fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
Par conséquent, pour tout $x \in [1 ; 4]$ on a :
$1^2 \leq x^2 \leq 4^2$ soit $1 \leq x^2 \leq 16$.
Le minimum de $f$ sur $I$ est donc $1$ atteint en $1$ et son maximum est $16$ atteint en $4$.

👉 Petit conseil : sur un intervalle entièrement positif, le minimum est au plus petit $x$ et le maximum au plus grand.

b. Sur $I = [-2 ; -1]$
La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty ; 0]$.
Par conséquent, pour tout $x \in [-2 ; -1]$ on a :
$(-1)^2 \leq x^2 \leq (-2)^2$ soit $1 \leq x^2 \leq 4$.
Le minimum de $f$ sur $I$ est donc $1$ atteint en $-1$ et son maximum est $4$ atteint en $-2$.

👉 Petit conseil : sur un intervalle négatif, fais attention, l’ordre s’inverse.

c. Sur $I = [-1 ; 2]$
La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty ; 0]$.
Donc si $x \in [-1 ; 0]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq (-1)^2$ soit $0 \leq x^2 \leq 1$.

La fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
Donc si $x \in [0 ; 2]$ alors $0^2 \leq x^2 \leq 2^2$ soit $0 \leq x^2 \leq 4$.

En résumé si $x \in I$ alors $0 \leq x^2 \leq 4$.
Le minimum de la fonction $f$ est donc $0$ atteint en $0$ et son maximum est $4$ atteint en $2$.

👉 Petit conseil : quand l’intervalle contient $0$, découpe toujours en deux parties.

Exercice 3

1. $x^2 > 25$
   

La solution de cette inéquation est $]-\infty ; -5[ \cup ]5 ; +\infty[$.

2. $x^2 > 0$
   

La solution de cette inéquation est $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.

3. $x^2 \geq -2$
   

Tous les nombres sont donc solution de cette inéquation.

👉 Petit conseil : comme $x^2 \geq 0$ pour tout $x$, compare toujours avec $0$ en priorité.

4. $x^2 \leq 5$
   

La solution de cette inéquation est donc $[-\sqrt{5} ; \sqrt{5}]$.

5. $x^2 \leq -3$
   Un carré ne peut pas être négatif. Par conséquent aucun nombre n'est solution de cette inéquation.