La fonction carré : résolution graphique d'équation ou d'inéquation

I. Résolution de $x^2 = k$

II. Résolution d'une inéquation avec $k>0$

Remarques :

Si $k<0$, l'inéquation $x^2>k$ est toujours vérifiée puisque un carré est toujours positif ou nul. L'ensemble solution est donc$S=\mathbb R$.

Si $k < 0$, l'inéquation $x^2< k$ n'admet pas de solution. On dit que l'ensemble solution est vide et on écrit : $S=\emptyset$.

III. Exemples

Résoudre dans $\mathbb R$ les équations ou inéquations suivantes

1. $x^2=5$

2. $x^2=-3$

3. $x^2<7$

4. $x^2\geq 4$

Solution :

1. Équation $x^2 = 5$

On cherche les antécédents de $5$ par la fonction carré, c'est-à-dire les abscisses des points de la courbe tels que l’ordonnée vaut 5.

Le graphique de la fonction $x \mapsto x^2$ montre que chaque valeur $y > 0$ a deux antécédents opposés : $x = \sqrt{y}$ et $x = -\sqrt{y}$.

Donc,
$x^2 = 5 \iff x = \sqrt{5} \text{ ou } x = -\sqrt{5}$.

Ainsi, les solutions sont : $x = -\sqrt{5}$ et $x = \sqrt{5}$.

2. Équation $x^2 = -3$

On cherche les réels dont le carré vaut $-3$.
Mais la fonction $x \mapsto x^2$ ne prend que des valeurs positives ou nulles (la courbe est au-dessus ou sur l’axe des abscisses).

Donc $x^2 = -3$ n’a aucune solution réelle.

Ainsi, l’équation n’a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

3. Inéquation $x^2 < 7$

On cherche les réels dont le carré est strictement inférieur à 7.

Graphiquement, cela revient à repérer les abscisses des points situés en dessous de la droite d’équation $y = 7$ sur la courbe de la fonction carré.

On observe que l’ordonnée $y = 7$ coupe la parabole en deux points symétriques d’abscisses $x = -\sqrt{7}$ et $x = \sqrt{7}$.
Entre ces deux valeurs, la courbe est en dessous de 7.

Donc :
$x^2 < 7 \iff -\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$.

Ainsi, l’ensemble des solutions est : $x \in \left]-\sqrt{7} \, ; \, \sqrt{7}\right[$.

4. Inéquation $x^2 \geq 4$

   On cherche les réels dont le carré est supérieur ou égal à 4.

   Sur le graphique de la fonction $x \mapsto x^2$, cela revient à repérer les abscisses des points situés au-dessus ou sur la droite d’équation $y = 4$.

   La parabole coupe la droite $y = 4$ en deux points d’abscisses opposées : $x = -2$ et $x = 2$.

   En dehors de l’intervalle $[-2 ; 2]$, la courbe est au-dessus de $y = 4$.

   À l’intérieur de l’intervalle $]-2 ; 2[$, la parabole est strictement en dessous de 4.

   Donc :

   $x^2 \geq 4 \iff x \leq -2 \quad \text{ou} \quad x \geq 2$

   L’ensemble des solutions est :

   $x \in \left]-\infty\, ; \, -2\right] \cup \left[2 \, ; \, +\infty\right[$