La convexité (1)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = x e^{-x} + 2x - 1$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

Partie A

1. Nous devons déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

Calculons $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)$.

$\left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to-\infty} x = -\infty \\ \lim\limits_{x\to-\infty} e^{-x} = \lim\limits_{X\to+\infty} e^X = +\infty \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty} x e^{-x} = -\infty$

D'où
$\left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to-\infty} x e^{-x} = -\infty \\ \lim\limits_{x\to-\infty}(2x-1) = -\infty \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}(x e^{-x}+2x-1)=-\infty$

$\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=-\infty}$

Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$.

$\left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to+\infty} x e^{-x} = 0 \quad (\text{croissances comparées}) \\ \lim\limits_{x\to+\infty}(2x-1) = +\infty \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(x e^{-x}+2x-1)=+\infty$

$\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}$

2. Pour tout réel $x$, nous devons calculer $f'(x)$.

$f'(x) = (x e^{-x} + 2x - 1)'$
$= x' \times e^{-x} + x \times (e^{-x})' + 2$
$= 1 \times e^{-x} + x \times (-e^{-x}) + 2$
$= (1-x) e^{-x} + 2$

$\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = (1-x)e^{-x}+2}$

3. Montrons que pour tout réel $x : f''(x) = (x-2)e^{-x}$.

$f''(x) = \big((1-x)e^{-x}+2\big)'$
$= (1-x)' \times e^{-x} + (1-x)\times(e^{-x})'$
$= (-1)\times e^{-x} + (1-x)(-e^{-x})$
$= (-1)e^{-x}-(1-x)e^{-x}$
$= (x-2)e^{-x}$

$\boxed{\forall x\in\mathbb{R},\quad f''(x)=(x-2)e^{-x}}$

4. Étudier la convexité de la fonction $f$.

La convexité de $f$ dépend du signe de $f''(x)$.
Puisque $e^{-x}>0$ sur $\mathbb{R}$, le signe de $f''(x)$ est celui de $(x-2)$.

$\left\lbrace\begin{matrix} x-2>0 \Longleftrightarrow x>2 \\ x-2=0 \Longleftrightarrow x=2 \\ x-2<0 \Longleftrightarrow x<2 \end{matrix}\right.$

Tableau de signe de $f''$ :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline x-2 & & - & 0 & + & \\ \hline f''(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$

On en déduit :
$f$ est concave sur $]-\infty;2]$ et convexe sur $[2;+\infty[$.

5. Étudier les variations de $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser son tableau de variations.

On a montré que $f''(x)\leq 0$ sur $]-\infty;2]$ et $f''(x)\geq 0$ sur $[2;+\infty[$.
Donc $f'$ est décroissante sur $]-\infty;2]$ et croissante sur $[2;+\infty[$.

En $x=2$:
$f'(2) = (1-2)e^{-2}+2 = -e^{-2}+2$

Tableau de variations de $f'$ :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline f''(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f' & \searrow & & _{\scriptsize{2-e^{-2}}} & & \nearrow \\ \hline \end{array}$

6. En déduire le signe de $f'$ et la monotonie de $f$.

$2-e^{-2}\approx 1,86 > 0$
Donc $f'(x)>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

7. Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$ et donner un encadrement.

Comme $f$ est continue, strictement croissante, avec
$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$,
il existe un unique $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$.

De plus :
$f(0,37)\approx -0,00443 <0$
$f(0,38)\approx 0,01987 >0$

Donc $\alpha \in [0,37;0,38]$.

8. Position relative de $C_f$ et $\Delta : y=2x-1$.

$f(x)-(2x-1)=x e^{-x}$

Puisque $e^{-x}>0$ sur $\mathbb{R}$, le signe dépend de $x$:

• si $x<0$, alors $f(x)-(2x-1)<0 \implies C_f$ est en dessous de $\Delta$

• si $x>0$, alors $f(x)-(2x-1)>0 \implies C_f$ est au-dessus de $\Delta$

• si $x=0$, alors $C_f$ et $\Delta$ se coupent en $0$