La convexité (3)

On considère la fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $]0;;;+\infty[$.

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous :

la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;;;3]$ ;

la droite $T_A$, tangente à $C_f$ au point $A(1~;~2)$ ;

la droite $T_B$, tangente à $C_f$ au point $B(\text e~;~\text e)$.

On précise par ailleurs que la tangente $T_A$ passe par le point $C(3~;~0)$.

Partie A : Lectures graphiques

Les réponses aux questions suivantes sont basées uniquement sur le graphique.

1. Nous devons déterminer $f'(1)$.

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ passant par les points $A(1;;;2)$ et $C(3~;~0)$.

Dès lors, nous obtenons :

$f'(1)=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-2}{3-1}=-1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f'(1)=-1}$

2. Le nombre de solutions de l'équation $f'(x)=0$ dans l'intervalle $]0~;~3]$ est donné par le nombre de tangentes à la courbe $C_f$ parallèles à l'axe des abscisses dans l'intervalle $]0~;~3]$.

Nous observons qu'il y a deux tangentes à $C_f$ vérifiant cette propriété :

l'une au point de la courbe $C_f$ dont l'abscisse est environ $0{,}3$ ;

l'autre au point de la courbe $C_f$ dont l'abscisse est environ $1{,}6$.

Par conséquent, $,$l'équation $f'(x)=0$ admet deux solutions dans l'intervalle $]0;;;3]$.

3. Nous devons déterminer le signe de $f''(0{,}2)$.

La fonction paraît concave sur l'intervalle $[0{,}1~;~0{,}25]$.

Donc pour tout $x\in [0{,}1~;~0{,}25]$, $f''(x)<0$.

Or $0{,}2\in [0{,}1~;~0{,}25]$.

Par conséquent, $\boxed{f''(0{,}2)<0}$.

Partie B : Étude de la fonction $f$

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

$f(x)=x\Big(2(\ln x)^2-3 \ln x+2\Big)$

1. Nous devons résoudre dans $\R$ l'équation $2X^2-3X+2=0$ et en déduire que $C_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

Résolvons dans $\R$ l'équation $2X^2-3X+2=0$.

Discriminant : $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 2=9-16=-7$.

Puisque le discriminant est strictement négatif, l'équation $2X^2-3X+2=0$ n'admet pas de solution dans $\R$.

Montrons que $C_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses en montrant que l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution réelle.

$f(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\Big(2(\ln x)^2-3 \ln x+2\Big)=0$

$\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow\quad 2(\ln x)^2-3 \ln x+2 =0$

$(\text{en divisant les deux membres par }x\neq 0)$

$\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} X=\ln x\\2X^2-3X+2=0 \end{matrix}\right.$

Or nous savons que l'équation $2X^2-3X+2=0$ n'admet pas de solution dans $\R$.

Par conséquent, $C_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

2. Nous devons déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
   On admet que la limite de $f$ en $0$ est égale à $0$.

Nous observons que pour tout $x>1$, $f(x)=x(\ln x)^2\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^2}\right)$.

Nous obtenons alors :

$\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x=+\infty \quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{\ln x}=0\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{(\ln x)^2}=0 \end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^2}\right)=2 \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(\ln x)^2\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^2}\right)=+\infty$

$\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}x(\ln x)^2\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^2}\right)=+\infty$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}$

3. On admet que pour tout $x$ appartenant à $]0;;;+\infty[$, $f'(x)=2(\ln x)^2+\ln x-1$.

4. a) Nous devons montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0;;;+\infty[$, $f''(x)=\dfrac 1x\Big(4\ln x+1\Big)$.

Pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$,

$f''(x)=\Big[(2(\ln x)^2+\ln x-1\Big]'$

$f''(x)=2\times 2(\ln x)'\ln x+\dfrac 1x$

$f''(x)=4\times\dfrac 1x\times \ln x+\dfrac 1x =\dfrac 1x\,[(4 \ln x+1]$

$\quad\Longrightarrow\boxed{\forall x\in,]0~;~+\infty[,\,\quad f''(x)=\dfrac 1x \,[4 \ln x+1]}$

3. b) Nous devons étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;;;+\infty[$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.

Pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, $\dfrac 1x>0$.
D'où le signe de $f''(x)$ est le signe de $4\ln x+1$.
Nous pouvons dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.

$4\ln x +1>0\quad\Longleftrightarrow\quad 4\ln x>-1\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x>-\dfrac 14\quad\Longleftrightarrow\quad x>\text e^{-\frac 14}$

$4\ln x +1=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\text e^{-\frac 14}\quad 4\ln x +1<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\text e^{-\frac 14}$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & \text e^{-\frac 14} & & +\infty \\ \hline 4\ln x+1 & || & - & 0 & + & \\ \hline f''(x) & || & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction $f$ est concave sur l'intervalle $]0~;~\text e^{-\frac 14}[$ et est convexe sur l'intervalle $]\text e^{-\frac 14}~;~+\infty[$.
De plus, $C_f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $\text e^{-\frac 14}$.

3. c) Nous devons montrer que la courbe $C_f$ est au-dessus de la tangente $T_B$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.

$-\dfrac 14<0<1\quad \Longrightarrow\quad \text e^{-\frac 14}<\text e^0<\text e^1 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\text e^{-\frac 14}<1<\text e}$

Or nous savons que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]\text e^{-\frac 14}~;~+\infty[$.
Donc la courbe $C_f$ est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $]\text e^{-\frac 14}~;~+\infty[$ et en particulier sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ qui est inclus dans $]\text e^{-\frac 14}~;~+\infty[$.

Or $\text e^{-\frac 14}<1<\text e$.
Par conséquent, la courbe $C_f$ est au-dessus de la tangente $T_B$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.