Énoncé

Dans une entreprise, lors d'un mouvement social, le personnel est amené à se prononcer chaque jour sur l'opportunité ou non du déclenchement d'une grève.

Le premier jour, 15% du personnel souhaite le déclenchement d'une grève.

À partir de ce jour-là :

parmi ceux qui souhaitent le déclenchement d'une grève un certain jour, 35% changent d'avis le lendemain.
parmi ceux qui ne souhaitent pas le déclenchement d'une grève un certain jour, 33% changent d'avis le lendemain.

On note :

$g_n$ la probabilité qu'un membre du personnel souhaite le déclenchement d'une grève le jour $n$ ,
$t_n$ la probabilité qu'un membre du personnel ne souhaite pas le déclenchement d'une grève le jour $n$ ,
$P_n=(g_n\ \ t_n)$ , la matrice qui traduit l'état probabiliste au $n$ -ième jour.

Déterminer l'état initial $P_1$ .
a) Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
b) Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe.
Calculer le pourcentage de personnes favorables à la grève le 3e jour.
Soit $P=(x\ \ y)$ l'état probabiliste stable (on rappelle que $x+y=1$ ).
a) Montrer que $x$ et $y$ vérifient l'équation $x=0,65x+0,33y$ .
b) Déterminer $x$ et $y$ (on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près).
c) Interpréter le résultat.

L'état initial $P_1$ est donné par le texte : $P_1 = (0,15 \ \ 0,85)$ car le 1er jour 15% du personnel souhaite le déclenchement d'une grève.
a) Graphe probabiliste

picture-in-text

b) La matrice de transition associée au graphe est :
$M=\begin{pmatrix}0,65 & 0,35\\0,33 & 0,67\end{pmatrix}$
$P_3=P_1M^2$

$M^2=\begin{pmatrix}0,5380 & 0,4620\\0,4356 & 0,5644\end{pmatrix}$

Donc : $P_3=\begin{pmatrix}0,15 \quad 0,85\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,5380 & 0,4620\\0,4356 & 0,5644\end{pmatrix}$
alors : $P_3=\begin{pmatrix}0,45096 & 0,54904\end{pmatrix}$

Le pourcentage des personnes favorables à la grève le 3e jour est 45,1% arrondi au dixième.

a) Soit $P(x,y)$ l'état probabiliste stable

$P=PM$ et $x+y=1$

$(x,y)=(x,y)\begin{pmatrix}0,65 & 0,35\\0,33 & 0,67\end{pmatrix}$ et $x+y=1$

On a le système :

$\left\lbrace \begin{matrix} 0,65x+0,33y = x \\ 0,35x+0,67y = y \end{matrix} \right. \quad \text{et } x+y=1$

$x$ et $y$ vérifient donc bien $x=0,65x+0,33y$ .

b) $x=0,65x+0,33y$ s'écrit $0,35x-0,33y=0$ , ou encore $35x=33y$ .

$x+y=1$ s'écrit aussi $33x+33y=33$ , donc avec $35x=33y$ , $68x=33$ .

On en déduit $x=\dfrac{33}{68}=0,485$ , puis $y=1-0,485=0,515$ .

c) À terme 48,5% de personnes seront favorables au déclenchement de la grève contre 51,5% qui n'y seront pas favorables.

Graphe probabiliste, matrice et chaîne de Markov (3)

Énoncé

Révéler le corrigé