Énoncé

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.

On admet que :

Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;
s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,4.

On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».

Pour tout entier naturel n, on note :

$c_n$ la probabilité de l’événement « Hugo court le $(n+1)$ -ième jour » ;
$r_n$ la probabilité de l’événement « Hugo ne court pas le $(n+1)$ -ième jour » ;
$P_n$ la matrice $(c_n\ \ r_n)$ correspondant à l’état probabiliste le $(n+1)$ -ième jour.

Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.
On a donc : $P_0=(c_0\ \ r_0)=(1\ \ 0)$ .

Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R.
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
On donne $M^6=\begin{pmatrix}0,750016 & 0,249984\\0,749952 & 0,250048\end{pmatrix}$ .

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité $c_6$ qu’Hugo coure le 7e jour ?
Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $c_6$ .

a. Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ .
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, $c_{n+1}=0,2c_n+0,6$ .

Pour tout entier naturel n, on considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=c_n-0,75$ .
a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme.
b. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
c. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ .
d. Justifier que, pour tout entier naturel n, $c_n=0,75+0,25\times0,2^n$ .
e. Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 ?
f. Conjecturer alors l’état stable de ce graphe.
Comment valider votre conjecture ?

picture-in-text

La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,6&0,4\end{pmatrix}$
On a $P_6=P_0\times M^6 = \begin{pmatrix} 0,750016\quad 0,249984\end{pmatrix}$

Donc $c_6 \approx 0,75$

4.a. $P_{n+1}=P_n\times M$

b. On a donc $c_{n+1}=0,8c_n+0,6r_n$ avec $c_n+r_n=1$

D'où $c_{n+1}=0,8c_n+0,6(1-c_n)$ avec $r_n=1-c_n$ .

Donc $c_{n+1}=0,2c_n+0,6$ et $r_n=1-c_n$ .

5.a. On a $c_n=v_n+0,75$ .

$v_{n+1}=c_{n+1}-0,75$
$\phantom{v_{n+1}}=0,2c_n+0,6-0,75$
$\phantom{v_{n+1}}=0,2c_n-0,15$
$\phantom{v_{n+1}}=0,2\left(v_n+0,75\right)-0,15$
$\phantom{v_{n+1}}=0,2v_n+0,15-0,15$
$\phantom{v_{n+1}}=0,2v_n$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $v_0=c_0-0,75=0,25$ .

b. On a donc, pour tout entier naturel $n$ , $v_n=0,25\times 0,2^n$ .

$0<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$ .

c. Pour tout entier naturel $n$ , on a $c_n=v_n+0,75=0,25\times 0,2^n+0,75$ .

d. On peut donc conjecturer que la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 est $0,75$ .

e. On conjecture que l'état stable est $P=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix}$

$P\times M=\begin{pmatrix} 0,75\times 0,8+0,25\times 0,6\quad \quad 0,75 \times 0,2+0,25 \times 0,4\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix}$
$=P$

Donc $P=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix}$ est bien l'état stable.

Graphe probabiliste, matrice et chaîne de Markov (2)

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