Entraînement

Graphe probabiliste et état stable d'une chaîne de Markov (1)

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Énoncé

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année :

parmi les clients de l’opérateur EfficaceRéseau, 70% se réabonnent à ce même opérateur et 30% souscrivent un contrat avec l’opérateur GenialPhone ;
parmi les clients de l’opérateur GenialPhone, 55% se réabonnent à ce même opérateur et 45% souscrivent un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.

On note $E$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur EfficaceRéseau » et $G$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l’un des deux opérateurs.

On note également :

$e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau au 1er janvier $(2018+n)$ ;
$g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur GenialPhone au 1er janvier $(2018+n)$ ;
$P_n=(e_n \quad g_n)$ désigne la matrice ligne traduisant l’état probabiliste du système au 1er janvier $(2018+n)$ .

Au 1er janvier 2018, on suppose que 10% des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi $P_0=(0,1 \quad 0,9)$ .

Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$ .

a. Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe en rangeant les sommets dans l’ordre alphabétique.

b. Vérifier qu’au 1er janvier 2020, environ 57% des clients ont un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.

a. On rappelle que pour tout entier naturel $n$ , $P_{n+1}=P_n \times M$ .

Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$ .

b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $e_{n+1}=0,25e_n+0,45$ .

a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste au 1er janvier $(2018+n)$ :

picture-in-text b. Déterminer l’affichage de cet algorithme pour $N=3$ . Arrondir au centième.

c. Déterminer l’état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l’exercice.

Révéler le corrigé

La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :

picture-in-text

a. La matrice de transition du graphe probabiliste est
$M=\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\0,45 & 0,55\end{pmatrix}$

b. Calcul de l'état probabiliste $P_2$ .

$P_2=P_0\times M^2$ avec $P_0=(0,1\quad 0,9)$
Or $M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,45&0,55\end{pmatrix}\Longrightarrow M^2=\begin{pmatrix}0,625&0,375\\0,5625&0,4375\end{pmatrix}$
D'où $P_2=(0,1\quad 0,9)\times\begin{pmatrix}0,625&0,375\\0,5625&0,4375\end{pmatrix}$
$\phantom{\text{D'où }P_3}=(0,1\times0,625+0,9\times0,5625\quad 0,1\times0,375+0,9\times0,4375)$
$\phantom{\text{D'où }P_3}=(0,56875\ \ \ \ 0,43125)$
$\Longrightarrow P_2=(0,56875\ \ \ 0,43125)$

Par conséquent, au 1er janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

a. Nous savons que pour tout entier naturel $n$ , $P_{n+1} = P_n \times M$ .

D'où $(e_{n+1}\quad g_{n+1})=(e_n\quad g_n)\times\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,45&0,55\end{pmatrix}$
$\phantom{\text{D'où }(e_{n+1}\ \ \ \ \ g_{n+1})}=(e_n\times0,7+g_n\times0,45\ \ \ \ e_n\times0,3+g_n\times0,55)$
et $(e_{n+1}\quad g_{n+1})=(0,7e_n+0,45g_n \quad 0,3 e_n+0,55g_n)$

$\Longrightarrow e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n$

b. Nous savons que $e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n$
Or $e_n+g_n=1\Longrightarrow g_n=1-e_n$
D'où $e_{n+1}=0,7e_n+0,45(1-e_n)$
$\phantom{\text{D'où }\ e_{n+1}}=0,7e_n+0,45-0,45e_n$
$\phantom{\text{D'où }\ e_{n+1}}=0,25e_n+0,45$

$\Longrightarrow e_{n+1}=0,25e_n+0,45$

a. Algorithme complété :

b. Déterminons l'affichage de cet algorithme pour $N=3$ .

$I=1\Longrightarrow E=0,25\times0,1+0,45$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,475$
$\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,475$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,525$

$I=2\Longrightarrow E=0,25\times0,475+0,45$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,56875$
$\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,56875$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,43125$

$I=3\Longrightarrow E=0,25\times0,56875+0,45$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,5921875$
$\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,5921875$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,4078125$

D'où pour $N=3$ , les valeurs demandées sont $E\approx0,59$ et $G\approx0,41$ (arrondies au centième).

c. L'état stable du système $(e\ \ \ g)$ est la solution du système
$\left\lbrace\begin{matrix}e=0,25e+0,45\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}e=0,25e+0,45\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e-0,25e=0,45\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0,75e=0,45\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=\dfrac{0,45}{0,75}\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=0,4\end{matrix}\right.$

Par conséquent, l'état stable du système est $P=(0,6\ \ \ 0,4)$ .

Interprétation :
À très long terme, la part de marché de l'opérateur EfficaceRéseau sera de 60 % et la part de l'opérateur GenialPhone sera de 40 %.

Exercice précédent

Graphes : un nombre de chemins

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Graphe probabiliste, matrice et chaîne de Markov (2)