Graphe probabiliste et état stable d'une chaîne de Markov (1)

Énoncé

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année :

parmi les clients de l’opérateur EfficaceRéseau, 70% se réabonnent à ce même opérateur et 30% souscrivent un contrat avec l’opérateur GenialPhone ;
parmi les clients de l’opérateur GenialPhone, 55% se réabonnent à ce même opérateur et 45% souscrivent un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.

On note $E$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur EfficaceRéseau » et $G$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l’un des deux opérateurs.

On note également :

$e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau au 1er janvier $(2018+n)$ ;
$g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur GenialPhone au 1er janvier $(2018+n)$ ;
$P_n=(e_n \quad g_n)$ désigne la matrice ligne traduisant l’état probabiliste du système au 1er janvier $(2018+n)$ .

Au 1er janvier 2018, on suppose que 10% des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi $P_0=(0,1 \quad 0,9)$ .

Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$ .

a. Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe en rangeant les sommets dans l’ordre alphabétique.

b. Vérifier qu’au 1er janvier 2020, environ 57% des clients ont un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.

a. On rappelle que pour tout entier naturel $n$ , $P_{n+1}=P_n \times M$ .

Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$ .

b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $e_{n+1}=0,25e_n+0,45$ .

a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste au 1er janvier $(2018+n)$ :

picture-in-text b. Déterminer l’affichage de cet algorithme pour $N=3$ . Arrondir au centième.

c. Déterminer l’état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l’exercice.

La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :

picture-in-text

a. La matrice de transition du graphe probabiliste est
$M=\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\0,45 & 0,55\end{pmatrix}$

b. Calcul de l'état probabiliste $P_2$ .

$P_2=P_0\times M^2$ avec $P_0=(0,1\quad 0,9)$
Or $M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,45&0,55\end{pmatrix}\Longrightarrow M^2=\begin{pmatrix}0,625&0,375\\0,5625&0,4375\end{pmatrix}$
D'où $P_2=(0,1\quad 0,9)\times\begin{pmatrix}0,625&0,375\\0,5625&0,4375\end{pmatrix}$
$\phantom{\text{D'où }P_3}=(0,1\times0,625+0,9\times0,5625\quad 0,1\times0,375+0,9\times0,4375)$
$\phantom{\text{D'où }P_3}=(0,56875\ \ \ \ 0,43125)$
$\Longrightarrow P_2=(0,56875\ \ \ 0,43125)$

Par conséquent, au 1er janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

a. Nous savons que pour tout entier naturel $n$ , $P_{n+1} = P_n \times M$ .

D'où $(e_{n+1}\quad g_{n+1})=(e_n\quad g_n)\times\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,45&0,55\end{pmatrix}$
$\phantom{\text{D'où }(e_{n+1}\ \ \ \ \ g_{n+1})}=(e_n\times0,7+g_n\times0,45\ \ \ \ e_n\times0,3+g_n\times0,55)$
et $(e_{n+1}\quad g_{n+1})=(0,7e_n+0,45g_n \quad 0,3 e_n+0,55g_n)$

$\Longrightarrow e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n$

b. Nous savons que $e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n$
Or $e_n+g_n=1\Longrightarrow g_n=1-e_n$
D'où $e_{n+1}=0,7e_n+0,45(1-e_n)$
$\phantom{\text{D'où }\ e_{n+1}}=0,7e_n+0,45-0,45e_n$
$\phantom{\text{D'où }\ e_{n+1}}=0,25e_n+0,45$

$\Longrightarrow e_{n+1}=0,25e_n+0,45$

a. Algorithme complété :

b. Déterminons l'affichage de cet algorithme pour $N=3$ .

$I=1\Longrightarrow E=0,25\times0,1+0,45$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,475$
$\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,475$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,525$

$I=2\Longrightarrow E=0,25\times0,475+0,45$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,56875$
$\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,56875$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,43125$

$I=3\Longrightarrow E=0,25\times0,56875+0,45$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,5921875$
$\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,5921875$
$\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,4078125$

D'où pour $N=3$ , les valeurs demandées sont $E\approx0,59$ et $G\approx0,41$ (arrondies au centième).

c. L'état stable du système $(e\ \ \ g)$ est la solution du système
$\left\lbrace\begin{matrix}e=0,25e+0,45\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}e=0,25e+0,45\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e-0,25e=0,45\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0,75e=0,45\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=\dfrac{0,45}{0,75}\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=1-e\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=0,4\end{matrix}\right.$

Par conséquent, l'état stable du système est $P=(0,6\ \ \ 0,4)$ .

Interprétation :
À très long terme, la part de marché de l'opérateur EfficaceRéseau sera de 60 % et la part de l'opérateur GenialPhone sera de 40 %.