Fonctions exponentielles : des situations concrètes

Exercice 1 — Une population

Une ville compte $2~000$ habitants en $2025$.
Chaque année, la population augmente de $5\%$.
On note $u_n$ le nombre d’habitants (en milliers) $n$ années après $2025$.

1) Exprimer $u_0$ et justifier que $(u_n)$ est une suite exponentielle

Au départ ($n=0$), la ville compte $2~000$ habitants, soit $2$ milliers.
Donc $u_0=2$.

Chaque année, la population augmente de $5\%$, ce qui revient à multiplier par $1,05$.
Ainsi, pour tout entier $n$ :
$u_{n+1}=1,05,u_n$

La suite $(u_n)$ est donc une suite exponentielle de raison $q=1,05$.

👉 Petit conseil : une augmentation de $p$ correspond toujours à un coefficient $1+\dfrac{p}{100}$.

2) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$

Une suite exponentielle vérifie :
$u_n=u_0\times q^n$

Donc ici :
$u_n=2\times 1,05^n$

3) Calculer le nombre d’habitants en $2030$

L’année $2030$ correspond à $n=5$.

$u_5=2\times 1,05^5$

On obtient :
$u_5\approx2,55$

Cela correspond à environ $2~550$ habitants.

👉 Petit conseil : pense à bien revenir à l’unité “habitants” si la suite est exprimée en milliers.

4) Tracer la courbe de $f(x)=2\times 1,05^x$

La courbe est croissante car $1,05>1$.
Elle passe notamment par les points :
$(0;2)$, $(5;2,55)$ et $(10;3,26)$.

5) Dépassement de $3~000$ habitants

On cherche quand $u_n>3$, soit :
$2\times 1,05^n>3$

À la lecture du graphique, on observe que cela se produit au delà de 8 années, soit vers $n\approx9$.

La population dépasse donc $3~000$ habitants environ $9$ ans après $2025$.

👉 Petit conseil : pour ce type de question, une lecture graphique suffit, pas besoin de résoudre une équation.

Exercice 2 — Des bactéries

Une culture contient $10~000$ bactéries.
Chaque heure, $20\%$ des bactéries disparaissent.
On note $v_n$ le nombre de bactéries (en milliers) après $n$ heures.

1) Exprimer $v_0$ et justifier que $(v_n)$ est une suite exponentielle décroissante

Au départ :
$v_0=10$

Chaque heure, $20\%$ disparaissent, donc il reste $80\%$ de la population.
Cela correspond à un coefficient $0,8$.

Ainsi :
$v_{n+1}=0,8,v_n$

La suite $(v_n)$ est exponentielle décroissante de raison $q=0,8$.

👉 Petit conseil : une diminution de $p$ correspond à un coefficient $1-\dfrac{p}{100}$.

2) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$

$v_n=v_0\times q^n$

Donc :
$v_n=10\times 0,8^n$

3) Nombre de bactéries après $4$ heures

$v_4=10\times 0,8^4$

On obtient :
$v_4\approx4,10$

Il reste donc environ $4~100$ bactéries après $4$ heures.

4) Tracer la courbe de $g(x)=10\times 0,8^x$

La courbe est décroissante car $0,8<1$.
Elle passe notamment par :
$(0;10)$, $(4;4,10)$ et $(8;1,68)$.

5) Passage sous $2~000$ bactéries

On cherche quand $v_n<2$, soit :
$10\times 0,8^n<2$

À la lecture du graphique, cela se produit vers $n\approx7$.

Le nombre de bactéries passe sous $2~000$ après environ $7$ heures.

👉 Petit conseil : pour une décroissance exponentielle, la courbe se rapproche de l’axe des abscisses sans jamais le couper.