Introduction aux fonctions exponentielles

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I. Définition de la fonction exponentielle

La fonction $x \mapsto a^x$ est définie pour $x$ positif, et son rôle est de modéliser la croissance ou la décroissance exponentielle dans de nombreux domaines (comme la population, les intérêts bancaires, etc.).

Prolongement à des valeurs non entières

La fonction exponentielle est aussi définie pour des valeurs non entières de $x$ en utilisant les suites géométriques. En effet, pour un nombre $x$ entier, la fonction exponentielle est définie par :

$a^x= a \times a \times \cdots \times a \quad (x\text{ fois})$

On dit que $a$ est la base de cette fonction exponentielle.

Cette définition peut être étendue pour les nombres réels en utilisant des suites géométriques $(a^n)_{n \in \mathbb{N}}$ et en posant : $a^{-x }= \dfrac{1}{a^x}$

II. Exemple 1 : Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Soit $a = 2$ et $x = 3$. Calculez $a^x$.

On a :
$a^x = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

Correction : La fonction exponentielle de base $2$ en $3$ vaut $2^3$ soit$8$.

III. Exemple 2 : Prolongement à des valeurs non entières

Prenons l'exemple où $a = 2$ et $x = 1.5$.

La fonction exponentielle pour $a^x$ avec $x$ non entier peut être obtenue à partir de la suite géométrique ou à l'aide de calculs numériques :
$2^{1.5} \approx 2.82821.5$

Pour $x = 1.5$, on trouve approximativement $2^{1.5} \approx 2.828$.

IV. Situation concrète : Modélisation de la croissance d'une population

Imaginons qu'une population initiale de bactéries double chaque heure. Si le nombre initial de bactéries est de 100, combien de bactéries y aura-t-il après 4 heures ?

La croissance suit une loi exponentielle. On peut modéliser cela par la fonction :
$P(t)= P_0 \times 2^t$
où $P_0$ est la population initiale ($100$) et $t$ est le temps en heures.

On cherche à calculer $P(4)$, c'est-à-dire la population après 4 heures :
$P(4) = 100 \times 2^4 = 100 \times 16 = 1600$

Conclusion : Après 4 heures, la population de bactéries sera de $1600$.