Fonctions exponentielles (2)

Exercice 1

On veut simplifier des écritures avec des puissances. On utilise les règles :
$a^m\times a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

1) $0,3^{1,3}\times 0,3^{2,5}$

Les deux puissances ont la même base $0,3$, donc on additionne les exposants :
$0,3^{1,3}\times 0,3^{2,5}=0,3^{1,3+2,5}$
$=0,3^{3,8}$

Conclusion : $0,3^{1,3}\times 0,3^{2,5}=0,3^{3,8}$.
👉 Petit conseil : dès que tu vois “même base” et un produit, pense “j’additionne les exposants”.

2) $(4^{0,2})^{0,5}$

On utilise la règle $(a^m)^n=a^{mn}$ :
$(4^{0,2})^{0,5}=4^{0,2\times 0,5}$

On calcule $0,2\times 0,5$ :
$0,2\times 0,5=0,1$

Donc :
$(4^{0,2})^{0,5}=4^{0,1}$

Conclusion : $(4^{0,2})^{0,5}=4^{0,1}$.
👉 Petit conseil : “puissance d’une puissance” $\Rightarrow$ tu multiplies les exposants.

3) $2,3^{1,5}\times 3^{1,5}$

Ici les bases sont différentes ($2,3$ et $3$). La règle $a^m\times a^n=a^{m+n}$ ne s’applique pas car il faudrait la même base.
En revanche, on peut factoriser l’exposant commun $1,5$ :

$2,3^{1,5}\times 3^{1,5}=(2,3\times 3)^{1,5}$

On calcule $2,3\times 3$ :
$2,3\times 3=6,9$

Donc :
$2,3^{1,5}\times 3^{1,5}=6,9^{1,5}$

Conclusion : $2,3^{1,5}\times 3^{1,5}=6,9^{1,5}$.
👉 Petit conseil : même exposant $\Rightarrow$ tu peux regrouper les bases : $a^x b^x=(ab)^x$.

4) $\dfrac{1,2^{4,5}}{1,2^{3,5}}$

Même base $1,2$, donc on soustrait les exposants :
$\dfrac{1,2^{4,5}}{1,2^{3,5}}=1,2^{4,5-3,5}$
$=1,2^{1}$
$=1,2$

Conclusion : $\dfrac{1,2^{4,5}}{1,2^{3,5}}=1,2$.
👉 Petit conseil : quotient de puissances de même base $\Rightarrow$ tu fais “haut moins bas”.