Applications pratiques des fonctions exponentielles

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I. Introduction aux applications pratiques

Les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser une grande variété de phénomènes dans le monde réel. Elles sont couramment employées pour décrire des processus naturels, financiers, biologiques, etc. Dans cette leçon, nous explorerons plusieurs applications pratiques des fonctions exponentielles.

II. Application 1 : Modélisation de la croissance d'une population

L’un des exemples les plus courants de fonction exponentielle est la modélisation de la croissance d’une population. Si une population croît à un taux constant, on peut utiliser la fonction exponentielle pour décrire cette croissance.

La formule générale pour la croissance exponentielle est :
$P_0 \times e^{rt}$ où :

• $P(t)$ est la population après $t$ années,

• $P_0$ est la population initiale,

• $r$ est le taux de croissance annuel,

• $t$ est le temps écoulé en années,

• $\text e$ est la base des logarithmes naturels, environ égale à 2.718.

Exemple :

Imaginons une population initiale de 1000 bactéries qui double chaque heure. Le taux de croissance est de $100$ par heure, soit $r = 1$ (car $100$).

La fonction de croissance est alors :
$P(t) = 1000 \times \text e^{1 \times t}$

Calculons la population après 5 heures ($t = 5$) :
$P(5) = 1000 \times e^5 \approx 1000 \times 148.413 = 148~413$

Conclusion : Après 5 heures, la population sera d'environ $148~413$ bactéries.

III. Application 2 : Calcul des intérêts composés

Les intérêts composés sont un autre domaine où les fonctions exponentielles jouent un rôle clé. Lorsqu’un capital est placé sur un compte bancaire avec un taux d’intérêt composé, la valeur future du capital suit une fonction exponentielle.

La formule générale pour calculer le montant $A(t)$ d'un investissement après $t$ années, avec un taux d’intérêt annuel $r$, est :
$A(t) = A_0 \times e^{rt}$ où :

• $A_0$ est le capital initial,

• $r$ est le taux d’intérêt annuel,

• $t$ est le temps en années.

Exemple :

Imaginons que vous investissiez 1000 € à un taux d’intérêt de $5$ par an, composé continuellement. Calculons la valeur de l’investissement après 10 ans.

La fonction devient :
$A(t) = 1000 \times \text e^{0.05 \times 10}$

Calculons :
$A(10) = 1000 \times e^{0.5} \approx 1000 \times 1.6487 = 1~648.7$

Conclusion : Après 10 ans, l'investissement vaudra environ $1~648.7$ €.

IV. Application 3 : Décroissance radioactive

La décroissance radioactive suit également une loi exponentielle. La quantité restante d'un isotope radioactif à un instant donné peut être modélisée par une fonction exponentielle de la forme :
$N(t) = N_0 \times e^{- \lambda t}$ où :

• $N(t)$ est la quantité de substance restante après $t$ années,

• $N_0$ est la quantité initiale,

• $\lambda$ est la constante de décroissance de la substance,

• $t$ est le temps écoulé.

Exemple :

Supposons qu’une substance radioactive ait une demi-vie de 5 ans, ce qui signifie qu’il faut 5 ans pour que la moitié de la substance disparaisse. Calculons la quantité restante après 10 ans, si la quantité initiale est de 100 g.

La constante de décroissance $\lambda$ peut être calculée en utilisant la relation entre la demi-vie et $\lambda$ :
$\lambda = \dfrac{\ln(2)}{T_{\frac{1}{2}}} = \dfrac{\ln(2)}{5} \approx 0.1386$

La fonction devient :
$N(t) = 100 \times e^{-0.1386 \times t}$

Calculons la quantité restante après 10 ans ($t = 10$) :
$N(10) = 100 \times \text e^{-0.1386 \times 10} \approx 100 \times \text e^{-1.386}$

$\phantom{N(10)}\approx 100 \times 0.2503$

$\phantom{N(10)}\approx 25.03$

Conclusion : Après 10 ans, il restera environ $25.03$ g de la substance radioactive.

V. Application 4 : Modélisation des ventes dans le temps

Les ventes d'un produit peuvent aussi suivre une fonction exponentielle, surtout dans les premières phases de lancement ou lorsque la demande croît rapidement.

Supposons qu’un produit se vende à un taux de croissance exponentielle de $20\%$ par mois. Si les ventes initiales étaient de $500$ unités, calculons le nombre de ventes après 6 mois.

La fonction de vente est :
$V(t) = 500 \times \text e^{0.20 \times t}$

Calculons le nombre de ventes après 6 mois ($t = 6$) :
$V(6) = 500 \times e^{0.20 \times 6} = 500 \times e^{1.2} \approx 500 \times 3.3201$

$\phantom{V(6)}\approx 1~660.05$

Conclusion : Après 6 mois, les ventes s’élèveront à environ $1~660$ unités.