Courbe représentative d'une fonction exponentielle

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I. La courbe de la fonction $x \mapsto a^x$

La courbe représentative de la fonction exponentielle $x \mapsto a^x$ présente des caractéristiques spécifiques qui dépendent de la valeur de $a$. Voici un aperçu des principales propriétés des courbes exponentielles.

1. Si $a > 1$ :

Lorsque $a$ est supérieur à $1$, la fonction $x \mapsto a^x$ est croissante. Cela signifie que la courbe est ascendante, et plus on s’éloigne de l'origine, plus les valeurs de $a^x$ deviennent grandes.

• La courbe passe par le point $A(0, 1)$, car $a^0 = 1$ pour toute valeur de $a$.

• La courbe est asymptotique à l'axe des abscisses, ce qui signifie que pour $x \to -\infty$, $a^x \to 0$.

1. Si $0 < a < 1$ :

Lorsque $a$ est compris entre $0$ et $1$, la fonction $x \mapsto a^x$ est décroissante. La courbe est donc descendante, et les valeurs de $a^x$ diminuent au fur et à mesure que $x$ augmente.

• La courbe passe également par le point $A(0, 1)$, mais elle se rapproche de l'axe des abscisses sans jamais l’atteindre, devenant asymptotique à celui-ci lorsque $x \to +\infty$.

• Pour $x \to -\infty$, $a^x \to \infty$.

1. Si $a = 1$ :

La courbe de la fonction $x \mapsto 1^x$ est une droite horizontale, car $1^x = 1$ pour toute valeur de $x$. Cette courbe est constante et égale à $1$.

II. Représentation graphique de la fonction exponentielle

Exemple 1 : Courbe de $x \mapsto 2^x$

Prenons l'exemple de la fonction $f(x) = 2^x$. Nous allons déterminer quelques points et tracer la courbe.

Pour $x = -2, -1, 0, 1, 2$, on a :
$\quad f(-2) = 2^{-2} = 0.25,$

$\quad f(-1) = 2^{-1} = 0.5,$

$\quad f(0) = 2^0 = 1,$

$\quad f(1) = 2^1 = 2,$

$\quad f(2) = 2^2 = 4$

Ces points sont $(-2, 0.25), (-1, 0.5), (0, 1), (1, 2), (2, 4)$.

La courbe est croissante et passe par le point $A(0, 1)$.

Elle devient de plus en plus grande à mesure que $x$ augmente.

Conclusion : La courbe de $f(x) = 2^x$ est une courbe croissante, passant par $A(0, 1)$ et tendant vers 0 pour $x \to -\infty$.

Exemple 2 : Courbe de $x \mapsto \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$

Prenons maintenant $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$. Nous allons également déterminer quelques points et analyser la courbe.

Pour $x = -2, -1, 0, 1, 2$, on a :
$\quad f(-2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4,$

$\quad f(-1) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2,$

$\quad f(0) = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1,$

$\quad f(1) = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 0.5,$

$\quad f(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0.25$

$f(−2)=(21​)−2=4,$

$f(−1)=(21​)−1=2,$

Ces points sont $(-2, 4), (-1, 2), (0, 1), (1, 0.5), (2, 0.25)$. La courbe est décroissante, et comme dans le cas précédent, elle passe par $A(0, 1)$.

Correction : La courbe de $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ est décroissante, passant par $A(0, 1)$ et tendant vers 0 pour $x \to \infty$.

III. Caractéristiques générales de la courbe d'une fonction exponentielle

Voici les principales caractéristiques de la courbe de $x \mapsto a^x$ :

• Asymptote : L'axe des abscisses ($y = 0$) est une asymptote horizontale de la courbe.

• Passage par le point : La courbe passe toujours par le point $A(0, 1)$, car $a^0 = 1$ pour tout $a > 0$.

• Croissance ou décroissance :

  • Si $a > 1$, la courbe est croissante.

  • Si $0 < a < 1$, la courbe est décroissante.

• Comportement à l'infini :

  • Si $a > 1$, la fonction tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$ et vers $0$ quand $x \to -\infty$.

  • Si $0 < a < 1$, la fonction tend vers $0$ quand $x \to +\infty$ et vers $+\infty$ quand $x \to -\infty$.

IV. Situation concrète : L’évolution de la population de bactéries

Imaginons qu’une population de bactéries double chaque heure, mais que l’environnement ne permette pas une croissance illimitée. La fonction exponentielle est alors utilisée pour modéliser cette croissance.

Soit la fonction suivante pour la population après $t$ heures :
$P(t) = 1000 \times 2^t$

Si on veut savoir combien de bactéries il y aura après 6 heures, on calcule :
$P(6) = 1000 \times 2^6 = 1000 \times 64 = 64~000$

Conclusion : Après 6 heures, la population sera de 64 000 bactéries, et la courbe représentant cette évolution sera croissante.