Fonctions exponentielles (1)

Exercice 1

On te dit que les deux courbes représentent les fonctions $x\mapsto 0,3^x$ et $x\mapsto 3,2^x$. Il faut reconnaître laquelle est laquelle en s’aidant de l’allure sur le graphique.

1. On observe d’abord si la courbe est croissante ou décroissante.

• Une fonction exponentielle $a^x$ est croissante si $a>1$.

• Elle est décroissante si $0<a<1$.

2. On regarde la courbe bleue $C_g$.
   Elle est croissante : quand $x$ augmente, la courbe monte rapidement.
   Donc elle correspond à une base $a>1$.
   Parmi les deux bases proposées, seule $3,2$ vérifie $3,2>1$.
   Donc $C_g$ représente la fonction $x\mapsto 3,2^x$.

3. On regarde la courbe violette $C_f$.
   Elle est décroissante : quand $x$ augmente, la courbe descend vers $0$.
   Donc elle correspond à une base $0<a<1$.
   Parmi les deux bases proposées, $0,3$ vérifie $0<0,3<1$.
   Donc $C_f$ représente la fonction $x\mapsto 0,3^x$.

4. Vérification rapide avec un point commun facile.
   Pour toute exponentielle, $a^0=1$. Donc les deux courbes passent par $(0;1)$.
   Sur le dessin, elles se coupent bien sur l’axe des ordonnées au niveau de $1$, ce qui confirme.

👉 Petit conseil : quand tu vois une exponentielle, regarde d’abord si la courbe monte ou descend, ça te donne tout de suite si la base est $>1$ ou entre $0$ et $1$.
👉 Petit conseil : le point $x=0$ est ton “test rapide” : $a^0=1$ donc la courbe doit passer par $(0;1)$.

Conclusion :
$C_g$ est la courbe de $x\mapsto 3,2^x$ et $C_f$ est la courbe de $x\mapsto 0,3^x$.

Exercice 2

On utilise uniquement le sens de variation de $a^x$ selon la valeur de $a$.

Rappel :
Si $a>1$, la fonction $x\mapsto a^x$ est croissante.
Si $0<a<1$, la fonction $x\mapsto a^x$ est décroissante.

1) $2,2^4 < 2,2^5$

Ici $2,2>1$, donc $x\mapsto 2,2^x$ est croissante.
Or $4<5$, donc $2,2^4 < 2,2^5$.

Conclusion : l’affirmation est vraie.
👉 Petit conseil : si la base est $>1$, l’ordre des exposants est conservé.

2) $2^{-3} < 3^{-1}$

Ici, on peut comparer en calculant simplement :
$2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$
$3^{-1}=\dfrac{1}{3}$

Or $\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{3}$, donc $2^{-3} < 3^{-1}$.

Conclusion : l’affirmation est vraie.
👉 Petit conseil : un exposant négatif, c’est “$1$ sur …”, donc pense tout de suite à une fraction.

3) $0,3^3 < 0,3^5$

Ici $0,3$ vérifie $0<0,3<1$, donc $x\mapsto 0,3^x$ est décroissante.
Or $3<5$, mais comme la fonction est décroissante, l’inégalité s’inverse :
$0,3^3 > 0,3^5$.

Donc l’affirmation $0,3^3 < 0,3^5$ est fausse.

Conclusion : l’affirmation est fausse.
👉 Petit conseil : quand la base est entre $0$ et $1$, “plus l’exposant grand, plus le résultat petit”.

4) $0,2^{-4} < 0,2^{-2}$

Ici $0,2$ vérifie $0<0,2<1$, donc $x\mapsto 0,2^x$ est décroissante.
On compare les exposants : $-4<-2$.
Comme la fonction est décroissante, l’inégalité s’inverse :
$0,2^{-4} > 0,2^{-2}$.

Donc l’affirmation $0,2^{-4} < 0,2^{-2}$ est fausse.

Conclusion : l’affirmation est fausse.
👉 Petit conseil : ne panique pas avec les exposants négatifs : compare d’abord $-4$ et $-2$, puis pense “base entre $0$ et $1$ donc ça inverse”.