Évolutions successives et évolution réciproque (1)

Exercice 1 – Coefficient multiplicateur

Un article subit une augmentation de $8\%$.

1. Donner le coefficient multiplicateur correspondant à cette augmentation.
   Une augmentation de $t$ correspond au coefficient multiplicateur :
   $1+\dfrac{t}{100}$
   Ici $t=8$, donc :
   $CM = 1+\dfrac{8}{100}=1+0,08=1,08$
   👉 Petit conseil : « augmentation » $\rightarrow$ on ajoute, donc le coefficient est forcément plus grand que $1$.

2. Dire si ce coefficient est supérieur ou inférieur à $1$.
   On a $1,08>1$.
   Donc le coefficient est supérieur à $1$.
   👉 Petit conseil : si tu trouves un coefficient inférieur à $1$ pour une augmentation, c’est qu’il y a une erreur de signe.

3. Expliquer ce que cela signifie pour le prix de l’article.
   Multiplier le prix initial par $1,08$ revient à l’augmenter de $8\%$.
   👉 Petit conseil : le coefficient multiplicateur sert à passer directement de la valeur initiale à la valeur finale : $V_{\text{final}}=V_{\text{initial}}\times CM$.

Exercice 2 – Évolution simple en pourcentage

Le prix d’un abonnement passe de 50 € à 54 €.

1. Calculer la variation absolue.
   $VA = V_{\text{final}}-V_{\text{initial}}$
   $VA = 54-50=4$
   La variation absolue est de $4$ euros.
   👉 Petit conseil : la variation absolue garde l’unité (ici, des euros).

2. Calculer la variation relative.
   $VR=\dfrac{V_{\text{final}}-V_{\text{initial}}}{V_{\text{initial}}}$
   $VR=\dfrac{54-50}{50}=\dfrac{4}{50}=0,08$
   👉 Petit conseil : au dénominateur, c’est toujours la valeur initiale.

3. Exprimer cette variation relative en pourcentage.
   $0,08=8\%$
   Donc le prix a augmenté de $8\%$.
   👉 Petit conseil : pour passer en pourcentage, tu multiplies par $100$.

Exercice 3 – Évolutions successives (niveau intermédiaire)

Le prix d’un billet de concert augmente de $10\%$, puis augmente encore de $5\%$ l’année suivante.

1. Donner le coefficient multiplicateur correspondant à chaque évolution.
   Augmentation de $10$ :
   $CM_1=1+\dfrac{10}{100}=1,10$
   Augmentation de $5$ :
   $CM_2=1+\dfrac{5}{100}=1,05$
   👉 Petit conseil : chaque pourcentage a son propre coefficient multiplicateur, à appliquer dans l’ordre.

2. Calculer le coefficient multiplicateur global.
   Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients :
   $CM_{\text{global}}=1,10\times1,05=1,155$
   👉 Petit conseil : « multiplicateur » signifie qu’on multiplie, pas qu’on additionne les pourcentages.

3. Indiquer si le prix a globalement augmenté ou diminué.
   $1,155>1$ donc il y a une augmentation globale.
   👉 Petit conseil : coefficient global $>1$ $\rightarrow$ hausse ; $<1$ $\rightarrow$ baisse.

4. Donner le pourcentage d’évolution totale.
   On compare $1,155$ à $1$ :
   $1,155-1=0,155$
   Donc l’évolution totale est $0,155=15,5\%$.
   👉 Petit conseil : pour retrouver le taux, tu fais toujours $CM_{\text{global}}-1$.

Exercice 4 – Évolutions successives avec hausse et baisse

Un produit augmente de $12\%$, puis baisse de $10\%$.

1. Donner le coefficient multiplicateur de chaque évolution.
   Augmentation de $12\%$ :
   $CM_1=1+\dfrac{12}{100}=1,12$
   Diminution de $10$ :
   $CM_2=1-\dfrac{10}{100}=0,90$
   👉 Petit conseil : « diminution » $\rightarrow$ on soustrait, donc le coefficient est inférieur à $1$.

2. Calculer le coefficient multiplicateur global.
   $CM_{\text{global}}=1,12\times0,90=1,008$
   👉 Petit conseil : applique les pourcentages successivement, même si l’un « annule » presque l’autre.

3. Déterminer le taux d’évolution final en pourcentage.
   $1,008-1=0,008$
   Donc $0,008=0,8\%$
   Le produit a donc augmenté au final de $0,8\%$.
   👉 Petit conseil : une hausse de $12\%$ suivie d’une baisse de $10\%$ ne ramène pas au prix initial.

4. Comparer ce résultat avec une augmentation unique de $2$.
   Une augmentation unique de $2$ correspond à $CM=1,02$.
   Or $1,008<1,02$, donc l’augmentation finale $0,8\%$ est plus petite que $2\%$.
   👉 Petit conseil : compare des coefficients multiplicateurs, c’est plus direct que comparer des phrases.