Évolutions successives et évolution réciproque

On sait que :

A une augmentation de $t\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{t}{100}$.

A une diminution de $t\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{t}{100}$.

I. Evolutions successives

Lorsque plusieurs pourcentages d'augmentation ou de diminution doivent être appliqués successivement, il suffit d'utiliser les coefficients multiplicateurs correspondants.

« Multiplicateur » : on multiplie donc les différents coefficients entre-eux. 

Exemple : Une denrée alimentaire, suite à l'inflation, a augmenté de $6\%$. L'année suivante, cette même denrée a diminué de $4\%$. Au final, quelle est l'évolution du prix de cette denrée ? 

Une augmentation de $6\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{6}{100}=1,06$.

Une diminution de $4\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{4}{100}=0,96$.

Le coefficient multiplicateur des deux évolutions successives est : $1,06\times 0,96=1,0176$.

Ce coefficient est supérieur à 1. On a donc au final une augmentation de prix. Pour en connaître le pourcentage, on compare  $1,0176$ à $1$.

Pour comparer deux nombres on calcule leur différence : $1,0176-1=0,0176$ qui peut s'écrire $\dfrac{1,76}{100}$ ou encore $1,76\%$.

Conclusion : La denrée a augmenté au final de $1,76\%$.

II. Taux d'évolution

« Taux d'évolution » est synonyme de pourcentage d'évolution. Il se calcule par rapport à la valeur d'origine. 

Exemple : Entre 2010 et 2020, une population est passée de $153~000$ habitants à $167~530$ habitants. Quel est le taux d'évolution noté $\tau$ (lettre grecque qui se lit tau) de la population entre ces deux dates ? 

$\tau = \dfrac{\text{final}-\text{initial}}{\text{initial}}=\dfrac{167~530-153~000}{153~000}$

${\phantom{\tau}=\dfrac{14~530}{153~000}\approx0,095}$ soit $9,5\%$.

Taux d'évolution moyen : 

On fait l'hypothèse que cette population a augmenté régulièrement au cours de ces $10$ années. On cherche le taux annuel qu'il faudrait appliquer à cette population pour obtenir au final le même taux (global) que celui calculé pour les $10$ années. 

On sait qu'appliquer une augmentation constante correspond à appliquer toujours le même coefficient multiplicateur. Cherchons dans un premier temps ce coefficient multiplicateur noté $CM$ annuel en sachant que le coefficient multiplicateur sur les dix ans est de $1+9,5\%$ soit $1,095$.

$\underbrace{CM\times CM\times \dots \times CM}_{10\text{ fois}}=1,095$ soit

$CM^{10}=1,095$. Pour trouver le nombre $CM$ qui mis à l'exposant $10$ vaut $1,095$, on tape sur la calculatrice : $1,095$ ^$\left(\dfrac{1}{10}\right)$ qui vaut environ $1,009$.

$1,009$ > $1$. Ce coefficient multiplicateur correspond à une augmentation de $1,009-1=0,009$ soit une augmentation moyenne de $0,9\%$ par an. 

III. Taux d'évolution réciproque

Exemple : Les tennis qui coûtaient $120$ euros coûtent $84$ euros après une baisse de $30\%$. Quel taux faudrait-il appliquer aux $84$ euros pour retrouver le prix initial de $120$ euros ? 

Le coefficient multiplicateur correspondant à la baisse de $30\%$ est $1-0,3=0,7$.

On peut écrire : $120\times 0,7=84$ ou encore $120=\dfrac{1}{0,7}\times 84$.

Le coefficient multiplicateur à appliquer pour trouver $120$ en partant de $84$ est donc $\dfrac{1}{0,7}$ soit environ $1,429$. 

$1,429$ > $1$ ; ce coefficient multiplicateur est celui d'une augmentation de $1,429-1=0,429$ soit $42,9\%$. 

Pour passer d'un prix de $84$ euros au prix de $120$ euros, l'augmentation à appliquer est donc de $42,9\%$. 

Le coefficient multiplicateur réciproque s'obtient en prenant l'inverse du coefficient multiplicateur direct. On en déduit ensuite le taux d'évolution réciproque.