Etude de fonction (3)

Soit $(C)$ courbe d'équation $y=x^3-2x+3$. Posons $f(x)=x^3-2x+3$ définie sur $\mathbb{R}$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $f'(x)=3x^2-2$.

Soit $(C')$ courbe d'équation $y=2x^2-3x+3$. Posons $g(x)=2x^2-3x+3$ définie sur $\mathbb{R}$.
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $g'(x)=4x-3$.

1. Déterminer les coordonnées des points communs à $(C)$ et $(C')$ revient à déterminer les solutions de l'équation :
   $x^3-2x+3=2x^2-3x+3$
   $\Longleftrightarrow x^3-2x^2+x=0$
   $\Longleftrightarrow x(x^2-2x+1)=0$
   $\Longleftrightarrow x(x-1)^2=0$

Ainsi, $S=\left\lbrace 0;1\right\rbrace$ et $(C)$ et $(C')$ ont deux points communs $\alpha$ et $\beta$ d'abscisse respective $0$ et $1$.

Calcul de leur ordonnée :
$g(0)=3$
$g(1)=2$

Les points communs à $(C)$ et $(C')$ sont donc $\alpha(0;3)$ et $\beta(1;2)$.

2. Tangente à $(C)$ en $\alpha$ :
   $f$ est dérivable en $0$ donc la tangente existe bien.
   $a=0$ ; $f(a)=3$ ; $f'(a)=-2$
   $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
   $y=-2x+3$.

Tangente à $(C')$ en $\alpha$ :
$g$ est dérivable en $0$ donc la tangente existe bien.
$a=0$ ; $f(a)=3$ ; $f'(a)=-3$
$y=-3x+3$

Tangente à $(C)$ en $\beta$ :
$f$ est dérivable en $1$ donc la tangente existe bien.
$a=1$ ; $f(a)=2$ ; $f'(a)=1$
$y=x+1$

Tangente à $(C')$ en $\beta$ :
$g$ est dérivable en $1$ donc la tangente existe bien.
$a=1$ ; $f(a)=2$ ; $f'(a)=1$
$y=x+1$

3. Étude des variations de $f$ :
   Soit $f(x)=x^3-2x+3$ définie sur $\mathbb{R}$.
   $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   $f'(x)=3x^2-2$

On cherche les solutions de l'équation $f'(x)=0$ :
$\Longleftrightarrow 3x^2-2=0$
$\Longleftrightarrow 3x^2=2$
$\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{2}{3}$
$\Longleftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -\sqrt{\dfrac{2}{3}} & & \sqrt{\dfrac{2}{3}} & & +\infty \\ \hline \text{signe} & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \text{variation} & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ \hline \end{array}$

Étude des variations de $g$ :
Soit $g(x)=2x^2-3x+3$ définie sur $\mathbb{R}$.
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$g'(x)=4x-3$

On cherche les solutions de l'équation $g'(x)=0$ :
$\Longleftrightarrow 4x-3=0$
$\Longleftrightarrow 4x=3$
$\Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \dfrac{3}{4} & & +\infty \\ \hline \text{signe} & & - & 0 & + & \\ \hline \text{variation} & & \searrow & & \nearrow & \\ \hline \end{array}$