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Etude de fonction (2)

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Étude d’une fonction définie sur $[-2;2]$ par : $f(x)=x^3+2x$ et $C$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unités : 3 cm pour 1 sur $(O,\overrightarrow{i})$ et 0,5 cm pour 1 sur $(O,\overrightarrow{j})$ ).

$f$ est-elle impaire ?
Étudier les variations de $f$ .
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d’abscisse $0$ .
Déduire de l’étude du signe de l’expression $f(x)-2x$ , la position de la courbe $C$ par rapport à la tangente $T$ , lorsque $x$ varie dans $[-2;2]$ .
Construire $C$ et $T$ après avoir déterminé les coordonnées d’une dizaine de points à l’aide d’une calculatrice programmable.

Révéler le corrigé

Soit $f(x)=x^3+2x$ et $D_f=[-2;2]$ .

$D_f$ est symétrique par rapport à $0$
$f(-x)=-f(x)$
Donc $f$ est une fonction impaire.

$f$ est dérivable sur $[-2;2]$
$f'(x)=3x^2+2$

$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -2 & & 2 \\ \hline \text{signe} & & + & \\ \hline \text{variation} & & \nearrow & \\ \hline \end{array}$

Équation de la tangente $T$ à $C$ au point d'abscisse $0$ .
$a=0$ ; $f(a)=0$ ; $f'(a)=2$
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
$y=2x$
$f(x)-x=x^3$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -2 & & 0 & & 2 \\ \hline \text{signe} & & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$

sur $]-2;0[$ : $f(x)-2x<0 \Longleftrightarrow f(x)<2x$
sur $]0;-2[$ : $f(x)-2x>0 \Longleftrightarrow f(x)>2x$

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