Un nombre dérivé, c'est quoi ? et une tangente ?

En seconde, des courbes ont été tracées souvent grâce à la calculatrice. La notion de dérivée va permettre de connaître les variations d'une fonction de manière plus théorique.

I. Tangente à une courbe

Soit $A$ un point de la courbe $\mathcal C_f$. 

 La sécante noire pivote autour du point fixe $A$ de la courbe lorsque le point $M$ se rapproche de $A$. La position limite de cette sécante est la droite rouge, appelée tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$.

II. Nombre dérivé

Définition : Le nombre dérivé est le coefficient directeur de cette droite $\mathcal T_A$ appelée tangente en $A$ à la courbe $\mathcal C$.

Ecriture : Le nombre dérivé en $A$ d'abscisse $a$ à la courbe représentative de $f$ s'écrit $f'(a)$.

Lien avec la Physique : Un nombre dérivé représente une variation instantanée, cela peut être une vitesse instantanée.

Équation d'une tangente : Soit $A$ un point de coordonnées $\left(a\;;\;f(a\right))$

Quand l'abscisse augmente de 1, on lit sur la verticale la valeur de $f'(a)$.

Une équation de cette tangente $\mathcal T_A$ est donc : $y=f'(a)\times x+b$.

Il suffit de déterminer le réel $b$ en écrivant que $\mathcal T_A$ passe par le point $A$ dont on connaît les coordonnées.

Exemple : 

On a tracé une courbe et sa tangente au point $A$. Que vaut le nombre dérivé de $f$ en $1$ ?

Solution : 

On se positionne au point $A$. Quand $x$ augmente de $1$, on « monte » de $2$ pour se retrouver à nouveau sur la courbe. 

Le nombre dérivé de $f$ en $1$ vaut donc $2$.

On écrit : $f'(1)=2$

Si une équation de cette tangente est demandée : 

$\mathcal T_A\;:\;y=2x+b$ avec $b$ réel.

Le point $A(1\;;\;1)$ appartient à $\mathcal T_A$ si ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite, soit $1=2\times 1+b$. On trouve $1-2=b$ soit $b=-1$. 

$\mathcal T_A\;:\;y=2x-1$

Remarque : On peut démontrer qu'une équation de la tangente peut également s'écrire

$\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a)}$

Ici :

$a=1$, $f(1)=1$ et $f'(1)=2$ ce qui donne

$y=1+2\times (x-1)$ soit $y=1+2x-2$ ou encore $y=2x-1$.

III. Tracé de la tangente

Il peut être demandé de tracer la tangente à la courbe au point de la courbe d'abscisse $a$.

Pour cela il est inutile de chercher une équation de la tangente, il suffit de tracer un vecteur directeur de la tangente, en en connaissant son coefficient directeur.

Exemple : Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}$, fonction dont la courbe est connue depuis la classe de seconde.

On aimerait tracer la tangente à la courbe au point d'abscisse 2. Il est facile de montrer (avec la définition du nombre dérivable) que $f'(2)=-\dfrac{1}{4}$.

La tangente au point de la courbe d'abscisse $2$ admet donc pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{4}$.

On place le point de la courbe $A(2\,;\,\frac{1}{2})$, et on trace à partir de $A$ un vecteur directeur $\overrightarrow{U}(1\,;\,-\dfrac{1}{4})$ ou pour plus de commodité, un vecteur directeur colinéaire au précédent $\overrightarrow{V}(4;\,-1)$.