Etude de fonction (1)

1. Soit $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$.
   $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
   $f'(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x$.

On étudie le signe de $f'$ puis on en déduit les variations de $f$ :
$\dfrac{3}{4}x^2-2x=0 \Longleftrightarrow x\left(\dfrac{3}{4}x-2\right)=0$.

Donc $S=\left\lbrace 0;\dfrac{8}{3}\right\rbrace$.

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & \frac{8}{3} & & +\infty \\ \hline \text{signe de }f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \text{variations de }f & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ \hline \end{array}$

Avec :
$f(0)=1$
$f\left(\dfrac{8}{3}\right)=-\dfrac{37}{27}$

2. Soit $A(2;y)\in (C)$.

3. a) $f$ est dérivable en $2$ donc $(D)$ existe bien.
   $a=2$ , $f(a)=-1$ , $f'(a)=-1$.

Ainsi, $(D)$ a pour équation :
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
$y=-1(x-2)-1$.
$y=-x+1$.

Donc $t(x)=-x+1$.

2. b) Posons $d(x)=f(x)-t(x)$.
   $d(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+1+x-1$.
   $d(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x$.
   $d(x)=\dfrac{1}{4}x(x^2-4x+4)$.
   $d(x)=\dfrac{1}{4}x(x-2)^2$.

3. c) Position relative de $(C)$ par rapport à $(D)$.

Il faut étudier le signe de la différence des deux fonctions $t(x)$ et $f(x)$, soit étudier le signe de $d(x)$.

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline \text{signe de }d(x) & & - & 0 & + & 0 & + & \\ \hline \end{array}$

Ainsi,
sur $]-\infty;0[$ : $f(x)-t(x)<0 \Longleftrightarrow f(x)<t(x)$.
sur $]0;2[\cup]2;+\infty[$ : $f(x)-t(x)>0 \Longleftrightarrow f(x)>t(x)$.