Etude d'une fonction composée avec exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text e^{-x}$.

1. Nous devons calculer $f(0)$ et $f(\ln 2)$.

$\bullet$ $f(0) = \text e^0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{f(0) = 1}$

$\bullet$ $f(\ln 2) = \text e^{-\ln 2}$
$\phantom{ \bullet f(\ln 2)} = \text e^{\ln 2^{-1}}$
$\phantom{ \bullet f(\ln 2)} = 2^{-1}$
$\phantom{ \bullet f(\ln 2)} = \dfrac{1}{2}$
$\Longrightarrow \quad \boxed{f(\ln 2) = \dfrac{1}{2}}$

1. b) Nous devons déterminer $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

$\bullet$ Calculons $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

$\begin{cases} \lim\limits_{x \to -\infty} -x = +\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \text e^x = +\infty \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \lim\limits_{x \to -\infty} \text e^{-x} = +\infty \quad (\text{par composition})$
$\Longrightarrow \quad \boxed{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$

$\bullet$ Calculons $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

$\begin{cases} \lim\limits_{x \to +\infty} -x = -\infty \\ \lim\limits_{x \to -\infty} \text e^x = 0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \text e^{-x} = 0 \quad (\text{par composition})$
$\Longrightarrow \quad \boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0}$

2. Nous devons exprimer $f'(x)$ en fonction de $x$ pour tout réel $x$.

Pour tout réel $x$, $f'(x) = (-x)' \times \text e^{-x} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{f'(x) = - \text e^{-x}}$

Tableau de variations de $f$ :

L'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

Nous en déduisons que $f'(x) = -\text e^{-x} < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Par conséquent, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Nous pouvons ainsi dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.

   Nous devons montrer que les points $A(-1, \text e)$ et $B(\ln 4, \dfrac{1}{4})$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$.

$\bullet$ $f(-1) = \text e^{-(-1)} = \text e^{1} = \text e \quad \Longrightarrow \quad \boxed{A(-1, \text e) \in \mathcal{C}}$
$\bullet$ $f(\ln 4) = \text e^{-\ln 4} = \dfrac{1}{\text e^{\ln 4}} = \dfrac{1}{4} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{B(\ln 4, \dfrac{1}{4}) \in \mathcal{C}}$

3. b) Nous devons tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormé $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.