Dérivation et composée (2), et des récurrences bien utiles

Exercice 1

$f(x)=(-2x+1)^2$

1. Développement :
   $f(x)=4x^2-4x+1$
   Donc $f'(x)=8x-4$.

2. Composition :
   On pose $g(x)=-2x+1$, $h(x)=x^2$, alors $f=h\circ g$.
   $g'(x)=-2\,;h'(x)=2x$
   Donc $f'(x)=-2\times2(-2x+1)=8x-4$.

$f(x)=(3x-1)^3$

1. Développement :
   $f(x)=27x^3-27x^2+9x-1$
   Donc $f'(x)=81x^2-54x+9$.

2. Composition :
   On pose $g(x)=3x-1$, $h(x)=x^3$.
   $g'(x)=3\,;h'(x)=3x^2$
   Donc $f'(x)=3\times3(3x-1)^2=9(3x-1)^2$.

$f(x)=(-x^2+2)^2$

1. Développement :
   $f(x)=x^4-4x^2+4$
   Donc $f'(x)=4x^3-8x$.

2. Composition :
   On pose $g(x)=-x^2+2$, $h(x)=x^2$.
   $g'(x)=-2x\,;h'(x)=2x$
   Donc $f'(x)=-2x\times2(-x^2+2)=4x(x^2-2)$.

Exercice 2

$\checkmark\quad f(x)=(2x^2-x+1)^3$

$f'(x)=3(4x-1)(2x^2-x+1)^2$.

$\checkmark\quad f(x)=(5x-2)^2(x^2+3x-1)^2$

$f'(x)=2(5x-2)(x^2+3x-1)(15x^2+26x-11)$.

$\checkmark\quad f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$

$f(x)=x^4+6x^3+11x^2+6x$
$f'(x)=4x^3+18x^2+22x+6$.

$\checkmark\quad f(x)=\dfrac{1}{x^2}$

$f'(x)=-\dfrac{2}{x^3}$.

$\checkmark\quad f(x)=-\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^3}$

$f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x^4}$.

$\checkmark\quad f(x)=-2x^3+x+\dfrac{4}{x^2}$

$f'(x)=-6x^2+1-\dfrac{8}{x^3}$.

Exercice 3

$\checkmark\quad f(x)=x^4-6x^2+5$

$f'(x)=4x^3-12x$
$f''(x)=12x^2-12$
$f'''(x)=24x$
$f^{(4)}(x)=24$
Pour $n\geq5$, $f^{(n)}(x)=0$.

$\checkmark\quad f(x)=\dfrac{1}{x-2}$, $I=]2;+\infty[$

On montre par récurrence que, pour tout entier $n\ge 0$, on a
$f^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^n\,n!}{(x-2)^{\,n+1}}$ sur $I$.

Initialisation ($n=0$)
On a $f^{(0)}=f$ et $f(x)=\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{(-1)^0\,0!}{(x-2)^{\,0+1}}$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité
Supposons la formule vraie à un rang $k\ge 0$ : $f^{(k)}(x)=\dfrac{(-1)^k\,k!}{(x-2)^{\,k+1}}$.
En dérivant terme à terme sur $I$ :
$f^{(k+1)}(x)=\left[\dfrac{(-1)^k\,k!}{(x-2)^{\,k+1}}\right]' =(-1)^k\,k!\times\left[-(k+1)(x-2)^{-(k+2)}\right]$
$f^{(k+1)}(x)=\dfrac{(-1)^{k+1}\,(k+1)!}{(x-2)^{\,k+2}}$.

Conclusion
La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire de $k$ à $k+1$. Par récurrence, pour tout $n\ge 0$,
$f^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^n\,n!}{(x-2)^{\,n+1}}$ sur $I$.
$\boxed{f^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}}}$

$\checkmark\quad f(x)=\cos(3x)$

On a :
$f'(x)=-3\sin(3x)$
$f''(x)=-9\cos(3x)$
$f'''(x)=27\sin(3x)$
On montre par récurrence :
$\boxed{f^{(n)}(x)=3^n\cos\left(3x+\dfrac{n\pi}{2}\right)}$

Initialisation ($n=0$)
$f^{(0)}(x)=f(x)=\cos(3x)=3^0\cos\!\left(3x+\dfrac{0\pi}{2}\right)$. La propriété est vraie au rang $0$.

Pour s’assurer du motif, calculons quelques dérivées :
$f'(x)=-3\sin(3x)=3\cos\!\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)$
$f''(x)=-9\cos(3x)=3^2\cos\!\left(3x+\dfrac{2\pi}{2}\right)$
$f'''(x)=27\sin(3x)=3^3\cos\!\left(3x+\dfrac{3\pi}{2}\right)$
Cela coïncide bien avec la formule annoncée pour $n=1,2,3$.

Hérédité
Supposons la formule vraie au rang $k\ge 0$ : $f^{(k)}(x)=3^k\cos!\left(3x+\dfrac{k\pi}{2}\right)$.
En dérivant :
$f^{(k+1)}(x)=\left[3^k\cos\!\left(3x+\dfrac{k\pi}{2}\right)\right]' =3^k\cdot\left[-3\sin\!\left(3x+\dfrac{k\pi}{2}\right)\right]$
$f^{(k+1)}(x)=-3^{k+1}\sin\!\left(3x+\dfrac{k\pi}{2}\right)$.

Or, pour tout réel $u$, $-\sin(u)=\cos\!\left(u+\dfrac{\pi}{2}\right)$. En posant $u=3x+\dfrac{k\pi}{2}$, on obtient :
$f^{(k+1)}(x)=3^{k+1}\cos!\left(3x+\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)=3^{k+1}\cos\!\left(3x+\dfrac{(k+1)\pi}{2}\right)$.

Conclusion
La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire. Par récurrence, pour tout $n\ge 0$,
$f^{(n)}(x)=3^n\cos\!\left(3x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$.