Équation du second degré dans C à coefficients réels - digiSchool
Équation du second degré dans C à coefficients réels
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Dans cette leçon, tu vas apprendre à résoudre les équations quadratiques dans l’ensemble des complexes, même quand le discriminant est négatif. Tu verras comment déterminer les racines, les interpréter et factoriser un polynôme complexe facilement.
Mots-clés : équation quadratique complexe, discriminant négatif, solutions complexes, racines conjuguées, factorisation polynôme, équation du second degré.
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I. Équation du type z2=a avec a réel
On considère l’équation z2=a avec a un réel.
∘ Si a>0, alors l’équation admet deux solutions réelles : a et −a.
∘ Si a<0, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : i∣a∣ et −i∣a∣.
Exemple : z2=−3⇔S={i3;−i3}.
II. Équation du type az2+bz+c=0, avec a,b et c trois réels.
On considère l’équation az2+bz+c=0, avec a,b et c trois réels.
Soit Δ=b2−4ac le discriminant de cette équation.
∘ Si Δ>0, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : z1=2a−b−Δ,z2=2a−b+Δ.
∘ Si Δ=0, alors l’équation admet une unique solution réelle : z0=2a−b.
∘ Si Δ<0, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : z1=2a−b−i−Δ,z2=2a−b+i−Δ.
∘ Si Δ=0, alors : az2+bz+c=a(z−z1)(z−z2).
III. Un exemple
Résoudre dans C l'équation −5z2+2z−1=0 d'inconnue z et factoriser le polynôme P(z)=−5z2+2z−1.
Solution :
Calcul du discriminant :
Δ=22−4×(−5)×(−1)=4−20=−16=(4i)2
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées
x1=−10−2−4i=102+4i=51+2i et x2=51−2i
Conclusion : l'équation −5z2+2z−1=0 admet pour ensemble solution : {51+2i;51−2i}.
