Équation du second degré dans C à coefficients réels

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I. Équation du type $z^2=a$ avec $a$ réel

On considère l’équation $z^2 = a$ avec $a$ un réel.

$\circ\quad$ Si $a \gt 0$, alors l’équation admet deux solutions réelles : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

$\circ\quad$ Si $a \lt 0$, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : $\mathcal{i} \sqrt{|a|}$ et $-\mathcal{i} \sqrt{|a|}$.

Exemple :
$z^2 = -3 \Leftrightarrow S = \{ \mathcal{i} \sqrt{3} ; -\mathcal{i} \sqrt{3} \}$.

II. Équation du type $az^2 + bz + c = 0$, avec $a, b$ et $c$ trois réels.

On considère l’équation $az^2 + bz + c = 0$, avec $a, b$ et $c$ trois réels.

Soit $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant de cette équation.

$\circ\quad$ Si $\Delta \gt 0$, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
$z_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad z_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

$\circ\quad$ Si $\Delta = 0$, alors l’équation admet une unique solution réelle :
$z_0 = \dfrac{-b}{2a}$.

$\circ\quad$ Si $\Delta \lt 0$, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \dfrac{-b - \mathcal{i} \sqrt{-\Delta}}{2a}, \quad z_2 = \dfrac{-b + \mathcal{i} \sqrt{-\Delta}}{2a}$.

$\circ\quad$ Si $\Delta \neq 0$, alors :
$az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$.

III. Un exemple

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $-5z^2+2z-1=0$ d'inconnue $z$ et factoriser le polynôme $P(z)=-5z^2+2z-1$.

Solution :

Calcul du discriminant :

$\small\Delta=2^2-4\times (-5)\times (-1)=4-20=-16=(4i)^2$

L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées

$x_1=\dfrac{-2-4i}{-10}=\dfrac{2+4i}{10}=\dfrac{1+2i}{5}$ et $x_2=\dfrac{1-2i}{5}$

Conclusion : l'équation $-5z^2+2z-1=0$ admet pour ensemble solution : $\left\lbrace\dfrac{1+2i}{5} \,;\, \dfrac{1-2i}{5}\right\rbrace$.

Factorisation de $P(z)$

On en déduit que : $P(z)=-5\left(z- \dfrac{1+2i}{5}\right)\left(z- \dfrac{1-2i}{5}\right)$