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Des tableaux de signes pour résoudre des inéquations

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Exercice 1

Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :

  1. (x+1)(x−2)>5(x+1)2(x+1)(x-2) > 5(x+1)^2

  2. (x2−x)(2x+1)≥0(x^2 - x)(2x + 1) \ge 0

Exercice 2

2x−3+4x−2≤0\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{4}{x-2}\le 0

Exercice 3

Résoudre dans R\mathbb{R} les systèmes :

  1. {−x2+x+2>0−4x+3≤0\left\lbrace \begin{matrix} -x^2 + x + 2 > 0 \\ -4x + 3 \le 0 \end{matrix}\right.

  2. {−x2+x+1>0−2x+5<0\left\lbrace \begin{matrix} -x^2 + x + 1 > 0 \\ -2x + 5 < 0 \end{matrix}\right.

Exercice 4

Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes :

  1. (x+2)(x−1)(2x+1)≥0(x+2)(x-1)(2x+1)\ge0

  2. (x−4)(x+4)≤0(x-4)(x+4)\le0

Exercice 5

Déterminer le signe des fonctions suivantes (après factorisation) :

  1. f1(x)=8(x+12)2f_1(x) = 8(x+\tfrac{1}{2})^2

  2. f2(x)=(2x−1)(x−2)f_2(x) = (2x-1)(x-2)

  3. f3(x)=−(x+5)(x−2)f_3(x) = -(x+5)(x-2)

Révéler le corrigé

Exercice 1

  1. Résoudre (x+1)(x−2)>5(x+1)2 (x+1)(x-2)>5(x+1)^2 .
    Étape 1. Tout regrouper à gauche : (x+1)(x−2)−5(x+1)2>0 (x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0.
    Étape 2. Factoriser par (x+1)(x+1) : (x+1)[(x−2)−5(x+1)]>0 (x+1)\bigl[(x-2)-5(x+1)\bigr]>0.
    Étape 3. Simplifier : (x+1)[x−2−5x−5]=(x+1)(−4x−7)>0 (x+1)\bigl[x-2-5x-5\bigr]=(x+1)\bigl(-4x-7\bigr)>0.
    Étape 4. Multiplier par −1-1 (strictement négatif) inverse l’inégalité : (x+1)(4x+7)<0 (x+1)(4x+7)<0.
    Étape 5. Zéros : x=−1x=-1 et x=−74x=-\dfrac{7}{4}.

    👉 Conseil. Attention à bien ranger du plus petit au plus grand les valeurs −74-\dfrac 74 et −1-1 qui annulent le produit.

          x−∞−74−1+∞x+1−−−0+4x+7−0+++(x+1)(4x+7)+0−0+\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-\frac 74&&-1&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline x+1&&-&-&-&0&+&\\ 4x+7&&-&0&+&+&+&\\ &&&&&&&\\ \hline (x+1)(4x+7)&&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}
    Conclusion. Produit <0<0 ⇒\Rightarrow entre les racines (ouvert) : S=]−74 ;−1[ S=\left]-\dfrac{7}{4}\,;-1\right[.
    👉 Conseil. Quand tu multiplies par un nombre négatif, pense à inverser le sens de l’inégalité.

  2. Résoudre (x2−x)(2x+1)≥0 (x^2-x)(2x+1)\ge 0 .
    Étape 1. Factoriser x2−x=x(x−1)x^2-x=x(x-1) : x(x−1)(2x+1)≥0 x(x-1)(2x+1)\ge 0.
    Étape 2. Zéros : x=−12 ,0 ,1x=-\dfrac{1}{2}\,,0\,,1.
    Étape 3. Étude de signes
    • x>0x> 0 pour x>0x> 0 (évident !)
    • x−1>0x-1 > 0 pour x>1x > 1
    • 2x+1>02x+1 > 0 pour x>−12x > -\dfrac 12
    👉 Conseil. On remplit le tableau avec les signes démontrés.

          x−∞−1201+∞x−−−0+++x−1−−−−−0+2x+1−0+++++x(x−1)(2x+1)−0+0−0+ \begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&-\tfrac12&&0&&1&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline x&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&-&-&0&+&\\ 2x+1&&-&0&+&+&+&+&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline x(x-1)(2x+1)&&-&0&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

    Et la solution de x(x−1)(2x+1)≥0x(x-1)(2x+1)\ge 0 (lecture du tableau) est : S=[−12 ; 0]∪ [1 ; +∞[ S=\left[-\dfrac{1}{2}\,;\,0\right]\cup\,[1\,;\,+\infty[

Exercice 2

Rappel. Résoudre 2x−3+4x−2≤0 \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{4}{x-2}\le 0 .
Étape 1. Mettre au même dénominateur : 2(x−2)+4(x−3)(x−3)(x−2)=6x−16(x−3)(x−2)=2(3x−8)(x−3)(x−2) \dfrac{2(x-2)+4(x-3)}{(x-3)(x-2)}=\dfrac{6x-16}{(x-3)(x-2)}=\dfrac{2(3x-8)}{(x-3)(x-2)}.
Étape 2. Points critiques : x=2 ,83 ,3x=2\,,\dfrac{8}{3}\,,3.
Étape 3. Étude de signe (ordre 2<83<32<\dfrac{8}{3}<3) :
👉 Les valeurs 22 et 33 sont des valeurs interdites pour le quotient (le dénominateur serait nul).

      x−∞2833+∞3x−8−−−0+++x−3−−−−−0+x−2−0+++++2(3x−8)(x−3)(x−2)−||+0−||+ \begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&2&&\tfrac{8}{3}&&3&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline 3x-8&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x-3&&-&-&-&-&-&0&+&\\ x-2&&-&0&+&+&+&+&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \dfrac{2(3x-8)}{(x-3)(x-2)}&&-&\text{||}&+&0&-&\text{||}&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}


Conclusion. S=]−∞ ;2[ ∪ [83 ; 3[  S=]-\infty\,;2[\ \cup\ \left[\dfrac{8}{3}\,;\,3\right[\ .
👉 Conseil. Réduis d’abord la somme en une seule fraction, puis fais le tableau.

Exercice 3

  1. Rappel. Résoudre le système {−x2+x+2>0−4x+3≤0\left\lbrace\begin{aligned} -x^2+x+2& > &0\\ -4x+3&\le & 0 \end{aligned}\right. .

    Étape 1. Première inégalité : −x2+x+2>0  ⟺  x2−x−2<0  ⟺  (x−2)(x+1)<0⇒x∈]−1 ;2[-x^2+x+2>0 \iff x^2-x-2<0 \iff (x-2)(x+1)<0 \Rightarrow x\in ]-1\,;2[ .
    Étape 2. Seconde : −4x+3≤0  ⟺  x≥34-4x+3\le 0 \iff x\ge \dfrac{3}{4}.
    Conclusion. Intersection : S=[34 ; 2[ S=\left[\dfrac{3}{4}\,;\,2\right[.
    Conseil. Résous chaque contrainte séparément puis croise les intervalles.

  2. Rappel. Résoudre le système {−x2+x+1>0−2x+5<0 \left\lbrace\begin{aligned} -x^2+x+1&>0\\ -2x+5&<0 \end{aligned}\right..
    Étape 1. Première inégalité : −x2+x+1>0  ⟺  x2−x−1<0-x^2+x+1>0 \iff x^2-x-1<0.
    Étape 2. Compléter le carré : x2−x−1=(x−12)2−54 x^2-x-1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}.
    Étape 3. (x−12)2−54<0  ⟺  (x−12)2<54  ⟺  ∣x−12∣<52\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}<0 \iff \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2<\dfrac{5}{4} \iff \left|x-\dfrac{1}{2}\right|<\dfrac{\sqrt{5}}{2}.
    Donc x∈]1−52 ; 1+52 [ = ] 1−52 ; 1+52 [≈]−0,618 ; 1,618[ x\in\left]\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\,\right[ \,=\,\left]\,\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\,\right[\approx ]-0{,}618\,;\,1{,}618[.
    Étape 4. Seconde inégalité : −2x+5<0  ⟺  x>52=2,5-2x+5<0 \iff x>\dfrac{5}{2}=2{,}5.
    Conclusion. Aucune intersection ⇒S=∅\Rightarrow S=\varnothing.
    👉Conseil. Compléter le carré évite le discriminant et donne un intervalle centré.

Exercice 4

  1. Rappel. Résoudre (x+2)(x−1)(2x+1)≥0 (x+2)(x-1)(2x+1)\ge 0 .
    Étape 1. Zéros : x=−2 ,−12 ,1x=-2\,,-\dfrac{1}{2}\,,1.
    Étape 2. Étude de signe de chaque facteur

          x−∞−2−121+∞x+2−0+++++x−1−−−−−0+2x+1−−0++++(x+2)(x−1)(2x+1)−0+0−0+ \begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&-2&&- \tfrac12&&1&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline x+2&&-&0&+&+&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&-&-&0&+&\\ 2x+1&&-&-&0&+&+&+&+&\\ &&&&&&&&\\\hline (x+2)(x-1)(2x+1)&&-&0&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

    Lecture de signe (si besoin) : solution de (x+2)(x−1)(2x+1)≥0(x+2)(x-1)(2x+1)\ge 0
    Conclusion. S=[−2 ; −12]∪[1 ; +∞[ S=\left[-2\,;\,-\dfrac{1}{2}\right]\cup[1\,;\,+\infty[.
    👉 Conseil. Avec trois facteurs, garde un œil sur l’alternance des signes.

  2. Rappel. Résoudre (x−4)(x+4)≤0 (x-4)(x+4)\le 0 .
    Étape 1. Racines −4-4 et 44 ; produit ≤0\le 0 entre elles.

          x−∞−44+∞x−4−−−0+++x+4−0+++++(x−4)(x+4)+0−0+ \begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&\\ x&-\infty&&-4&&4&&+\infty\\ &&&&&&&&\\ \hline x-4&&-&-&-&0&+&+&+&\\ x+4&&-&0&+&+&+&+&+&\\ &&&&&&&&\\ \hline (x-4)(x+4)&&+&0&-&0&+& & &\\ &&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}
    Conclusion. S=[−4 ;4] S=[-4\,;4].
    👉 Conseil. C’est l’inéquation type de la “fenêtre” entre deux bornes.

Exercice 5

  1. Rappel. Déterminer le signe de f1(x)=8(x+12)2 f_1(x)=8\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 .
    Étape 1. Un carré est ≥0\ge 0 ; coefficient 8>08>0.
    Conclusion. f1(x)≥0 f_1(x)\ge 0 pour tout xx et f1(x)=0  ⟺  x=−12 f_1(x)=0 \iff x=-\dfrac{1}{2}.
    👉 Conseil. Un coefficient positif devant un carré conserve la positivité.

  2. Rappel. Déterminer le signe de f2(x)=(2x−1)(x−2) f_2(x)=(2x-1)(x-2) .
    Étape 1. Zéros : x=12x=\dfrac{1}{2} et x=2x=2.
    Étape 2. Signe
          x−∞122+∞2x−1−0+++x−2−−−0+(2x−1)(x−2)+0−0+ \begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&\\ x&-\infty&&\tfrac12&&2&&+\infty\\ &&&&&&\\ \hline 2x-1&&-&0&+&+&+&\\ x-2&&-&-&-&0&+&\\ &&&&&&\\ \hline (2x-1)(x-2)&&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}


    Conclusion. f2≥0 f_2\ge 0 sur ]−∞ ;12]∪[2 ; +∞[ ]-\infty\,;\dfrac{1}{2}] \cup [2\,;\,+\infty[ et f2≤0 f_2\le 0 sur [12 ;2] \left[\dfrac{1}{2}\,;2\right].
    👉Conseil. Produit de deux termes : “même signe ⇒\Rightarrow plus, signes opposés ⇒\Rightarrow moins”.

  3. Rappel. Déterminer le signe de f3(x)=−(x+5)(x−2) f_3(x)=-(x+5)(x-2) .
    Étape 1. Sans le signe “−-”, ce serait le signe de (x+5)(x−2)(x+5)(x-2).
    Étape 2. Zéros : x=−5x=-5 et x=2x=2.

          x−∞−52+∞x+5−0+++x−2−−−0+−−−−−−−(x+5)(x−2)−0+0− \begin{matrix}\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&\\ x&-\infty&&-5&&2&&+\infty\\ &&&&&&\\ \hline x+5&&-&0&+&+&+&\\ x-2&&-&-&-&0&+&\\ -&&-&-&-&-&-&\\ &&&&&&\\ \hline -(x+5)(x-2)&&-&0&+&0&-&\\ &&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}


    👉 Le “−-” devant inverse tous les signes.
    Conclusion. f3≤0 f_3\le 0 sur ]−∞ ;−5]∪[2 ; +∞[ ]-\infty\,;-5]\cup[2\,;\,+\infty[ et f3≥0 f_3\ge 0 sur [−5 ;2] [-5\,;2].

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