Résolution graphique ou algébrique d'équations ou d'inéquations

Exercice 1

$(2x-1)(x+4)-(2x-1)^2 =(2x-1)[(x+4)-(2x-1)] =(2x-1)(-x+5)$
👉 Commence toujours par repérer un facteur commun avant de développer.

On doit donc résoudre l'équation $(2x-1)(-x+5)=0$
👉 Une factorisation simplifie fortement la résolution.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un de ses facteurs au moins est nul.
👉 C’est la propriété clé des équations produits.

Par conséquent :

$2x-1=0 \ \ \Leftrightarrow \ 2x=1 \ \ \Leftrightarrow \ x=\frac{1}{2} \ \ \text{ ou } \ \ -x+5=0 \ \ \Leftrightarrow \ -x=-5 \ \ \Leftrightarrow \ x=5$
👉 Résous chaque équation séparément, sans en oublier.

Les solutions de l'équation sont donc $\frac{1}{2}$ et $5$.

Les solutions trouvées par le calcul sont bien cohérentes avec celles trouvées sur le graphique.
👉 La vérification graphique permet de confirmer le résultat algébrique.

Exercice 2

On étudie le signe de $4x-1$ puis celui de $4-x$
👉 Toujours séparer l’étude du numérateur et du dénominateur.

$4x-1=0$ revient à $x=\frac{1}{4}$.
$4x-1 > 0$ revient à $x> \frac{1}{4}$.

$4-x=0$ revient à $x=4$.
$4-x>0$ revient à $x<4$.

On obtient ainsi le tableau de signe suivant :

$\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & \frac 1 4 & & 4 & & +\infty & \\ \hline \text{signe de }4x-1 & & - & 0 & + & & + & & \\ \hline \text{signe de }4-x & & + & & + &0 & - & & \\ \hline \text{signe de }\frac{4x-1}{4-x} & & -&0 & + & ||& -& & \\ \hline \end{array}$
👉 La double barre indique une valeur interdite.

Ainsi la solution de $\dfrac{4x-1}{4-x} \geq 0 \text{ est } [\frac{1}{4};4[$.
👉 Pense à bien inclure ou exclure les bornes selon le signe demandé.