Lien entre développer et factoriser

Pour développer, on utilise la distributivité, la double distributivité ou une identité remarquable.

Factoriser est le processus inverse.

I. Reconnaître un facteur commun

Exemples : Factorisons les expressions suivantes :

$\text{B} = (x - 1)(x + 2) + (x - 1)(x + 3)$

$(x - 1)$ est le facteur commun
$\text{B} = \boxed{(x - 1)}(x + 2) + \boxed{(x - 1)}(x + 3)\\\text{B} = (x - 1)[(x + 2) + (x + 3)]\\\text{B} = (x - 1)(x + 2 + x + 3)\\\text{B} = (x - 1)(2x + 5)$

$\text{C} = (5x + 3)(2x - 1) - (5x + 3)^2$

$(5x + 3)$ est le facteur commun
$\text{C} = \boxed{(5x + 3)}(2x - 1) - \boxed{(5x + 3)}(5x + 3)\\\text{C} = (5x + 3)[(2x - 1) - (5x + 3)]\\\text{C} = (5x + 3)(2x - 1 - 5x - 3)\\\text{C} = (5x + 3)(-3x - 4)$

$\text{D} = (7x + 6)(3x - 5) - (3x - 5)$

$(3x - 5)$ est le facteur commun
$\text{D} = (7x + 6)\boxed{(3x - 5)} - \boxed{(3x - 5)} \times 1\\\text{D} = (3x - 5)[(7x + 6) - 1]\\\text{D} = (3x - 5)(7x + 6 - 1)\\\text{D} = (3x - 5)(7x + 5)$

II. Reconnaître une identité remarquable

Exemples : Factorisons les expressions suivantes :

$\text{E} = x^2 + 10x + 25$
$\text{E} = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2$ de la forme $a^2 + 2 \times a \times b + b^2$, avec $a = x$ et $b = 5$, donc : $\boxed{\text{E} = (x + 5)^2}$

$\text{F} = 4x^2 - 28x + 49$
$\text{F} = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 7 + 7^2$
F est de la forme $a^2 - 2 \times a \times b + b^2$, avec $a = 2x$ et $b = 7$, donc :
$\boxed{\text{F} = (2x - 7)^2}$

$\text{G} = x^2 - 36$
$\text{G} = x^2 - 6^2$ de la forme $a^2 - b^2$, avec $a = x$ et $b = 6$, donc :
$\boxed{\text{G} = (x - 6)(x + 6)}$

$\text{H} = (4x + 3)^2 - (7x - 1)^2$ de la forme $a^2 - b^2$ avec $a = 4x + 3$ et $b = 7x - 1$
$\text{H} = \Big[(4x + 3) - (7x - 1)\Big]\Big[(4x + 3) + (7x - 1)\Big]$

$\text{H} = (4x + 3 - 7x + 1)(4x + 3 + 7x - 1)$

$\boxed{\text{H} = (-3x + 4)(11x + 2)}$