Signe d'un produit, signe d'un quotient, tableaux de signes

Exercice 1

1. Étudions le signe de chacun des facteurs :
   Signe de $(x + 1)$:$(x + 1)$ est positif pour $x > -1$.
   Signe de $(5 - x)$: $(5 - x)$ est positif pour $x < 5$.
   👉 Commence toujours par repérer les zéros de chaque facteur.

Dressons le tableau de signes :

$\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -\infty & & -1& & 5 & & +\infty & \\ \hline {x+1} & & - & 0 & + & | & + & & \\ \hline {5-x} & & + & | & + & 0 & - & & \\ \hline {(x+1)(5-x)} & &- & 0& + & 0& - & & \\ \hline \end{array}$
👉 La dernière ligne se déduit en appliquant la règle des signes colonne par colonne.

2. Déterminons les signes du numérateur et du dénominateur :
   Signe de $(3x + 1)$ : $(3x + 1)$est positif pour x > (-1/3)
   Signe de $(x - 2)$: $(x - 2)$ est positif pour x > 2
   👉 Pour un quotient, pense toujours à interdire les valeurs qui annulent le dénominateur.

D'où le tableau de signes suivant :

$\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -\infty & & -\frac{1}{3}& & 2 & & +\infty & \\ \hline {3x+1} & & - & 0 & + & | & + & & \\ \hline {x-2} & & - & | & - & 0 & +& & \\ \hline {\dfrac{3x+1}{x-2}} & &+& 0& - & ||& +& & \\ \hline \end{array}$
👉 La double barre correspond à une valeur interdite.

Exercice 2

$(2x + 3)² - (2x + 3)(x - 4) = 0$
ce qui est équivalent à : $(2x + 3)(2x + 3 - x + 4) = 0$
ce qui est équivalent à : $(2x + 3)(x + 7) = 0$
👉 Mets le facteur commun en évidence pour obtenir une équation produit.

Les solutions sont -3/2 ou -7.
👉 Un produit est nul si l’un des deux facteurs est nul.

Exercice 3

$\dfrac{3x+2}{x-2} \le 5$ est équivalent à : $\dfrac{3x+2}{x-2}-5 \le 0$
qui est équivalent à : $\dfrac{3x+2-5(x-2)}{x-2} \le 0$
qui est équivalent à : $\dfrac{-2x+12}{x-2} \le 0$
👉 Mettre tout du même côté permet d’étudier un seul quotient.

Et on étudie le signe de ce quotient :

$\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -\infty & &2& & 6 & & +\infty & \\ \hline {-2x+12} & & + & | & + & 0 & - & & \\ \hline {x-2} & & - & 0 & + & | & +& & \\ \hline {\dfrac{-2x+12}{x-2}} & &-& ||& +&0& -& & \\ \hline \end{array}$
👉 N’oublie pas que $x=2$ est une valeur interdite.

L'ensemble des solutions est : $]-\infty; 2 [\cup[6 ; +\infty[$.
👉 Vérifie bien l’inclusion ou l’exclusion des bornes selon le signe $\le$.

Exercice 4

$\begin{array} {|c|cccc|}\hline x & -\infty & & -2 & \\ \hline {2x-3} & & - &| & \\ \hline {x+2} & & - &0 & \\ \hline {\dfrac{2x-3}{x+2}} & & +& ||& \\ \hline \end{array}$

👉 Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est toujours interdite.

$\begin{array} {|c|cccccccc|}\hline x & -\infty & &-1& & \frac{5}{2} & & +\infty & \\ \hline {5-2x} & & + & | & + & 0 & - & & \\ \hline {x+1} & & - & 0 & + & | & +& & \\ \hline {\dfrac{5-2x}{x+1}} & &-& ||& +&0& -& & \\ \hline \end{array}$

👉 Place d’abord les zéros du numérateur puis ceux du dénominateur.

Exercice 5

1. $f(x) = \dfrac{2x-1}{x+1}$
   

   👉 Réduire à un seul quotient facilite ensuite l’étude du signe.

2. Le tableau de signes est le suivant :

$\begin{array} {|c|cccccccc|}\hline x & -\infty & & -1& & \frac{1}{2} & & +\infty & \\ \hline {2x-1} & & - & | & - & 0 & + & & \\ \hline {x+1} & & - & 0 & + & | & +& & \\ \hline {\frac{2x-1}{x+1}} & &+& 0& - & ||& +& & \\ \hline \end{array}$

👉 La lecture du signe se fait intervalle par intervalle.