Des fractions (4)

Exercice 1 : Ordonne les fractions

a) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{4}{6}$

Étape 1 : Trouver un dénominateur commun ou convertir en décimaux
Pour comparer des fractions, on peut :

• Soit convertir chaque fraction en nombre décimal,

• Soit trouver un dénominateur commun et comparer les numérateurs.

Ici, nous allons convertir chaque fraction en décimal :

• $\dfrac{1}{2} = 0.5$

• $\dfrac{3}{4} = 0.75$

• $\dfrac{2}{5} = 0.4$

• $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \approx 0.6667$

Étape 2 : Comparer les décimaux
On range du plus petit au plus grand :
$0.4 < 0.5 < 0.6667 < 0.75$

Étape 3 : Réécrire en fractions
Donc l’ordre croissant des fractions est :
$\dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{4}{6} < \dfrac{3}{4}$

b) $\dfrac{5}{8}, \dfrac{7}{8}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{9}{8}$

Étape 1 : Convertir les fractions au même dénominateur
Les fractions ont pour dénominateurs 8 et 4. On peut convertir $\dfrac{3}{4}$ en huitièmes :

• $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$

Les autres fractions :

• $\dfrac{5}{8}$ reste $\dfrac 58$

• $\dfrac{7}{8}$ reste $\dfrac 78$

• $\dfrac{9}{8}$ reste $\dfrac 98$

Étape 2 : Comparer les numérateurs
Avec le même dénominateur, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande :

5/8 < 6/8 < 7/8 < 9/8

Étape 3 : Réécrire en fractions d’origine
$\dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{7}{8} < \dfrac{9}{8}$

c) $\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{3}{9}, \dfrac{5}{6}$

Étape 1 : Simplifier et comparer
Certaines fractions peuvent être simplifiées :

• $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

• $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

Donc l’ensemble devient :
$\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{6}$

Étape 2 : Comparer avec $\dfrac{5}{6}$
$\dfrac{5}{6}$ est clairement plus grand que $\dfrac{1}{3}$

Étape 3 : Écrire l’ordre croissant
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{9} < \dfrac{5}{6}$

Exercice 2

Additionne ou soustrais les fractions suivantes. Trouve un dénominateur commun si nécessaire :

a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont 2 et 3.

Étape 2 : Trouver un dénominateur commun
Le plus petit multiple commun de 2 et 3 est 6.

Étape 3 : Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun

1/2 = ███□□□ (3 parts sur 6)

1/3 = ██□□□□ (2 parts sur 6)

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$

Étape 4 : Additionner les numérateurs

███□□□ + ██□□□□ = █████□ (5 parts sur 6)
$\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3+2}{6} = \dfrac{5}{6}$

Réponse :
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

b) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4}$

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont 5 et 4.

Étape 2 : Trouver un dénominateur commun
Le plus petit multiple commun de 5 et 4 est 20.

Étape 3 : Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun

2/5 = ███████□□□□□□□ (8/20)

3/4 = █████████████□□ (15/20)

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$

Étape 4 : Additionner les numérateurs

████████□□□□□□□ + █████████████□□ = ███████████████████ (23/20)

$\dfrac{8}{20} + \dfrac{15}{20} = \dfrac{8+15}{20} = \dfrac{23}{20}$

Étape 5 : Éventuellement écrire sous forme de nombre mixte
$\dfrac{23}{20} = 1 \dfrac{3}{20}$

Réponse :
$\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{23}{20} = 1 \dfrac{3}{20}$

c) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}$

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont 6 et 2.

Étape 2 : Trouver un dénominateur commun
Le plus petit multiple commun de 6 et 2 est 6.

Étape 3 : Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun

5/6 = █████□

1/2 = ███□□□

$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{6}$ (déjà 6)

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$

Étape 4 : Soustraire les numérateurs

█████□ - ███□□□ = ██□□□□ = 2/6

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{5-3}{6} = \dfrac{2}{6}$

Étape 5 : Simplifier la fraction
$\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Réponse :
$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$

d) $\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{4}$

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont 8 et 4.

Étape 2 : Trouver un dénominateur commun
Le plus petit multiple commun de 8 et 4 est 8.

Étape 3 : Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun

7/8 = ███████□

3/4 = ██████□□

$\dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{8}$ (déjà 8)

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$

Étape 4 : Soustraire les numérateurs

███████□ - ██████□□ = █□□□□□□ = 1/8

$\dfrac{7}{8} - \dfrac{6}{8} = \dfrac{7-6}{8} = \dfrac{1}{8}$

Réponse :
$\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{8}$