Tangente à la courbe d'une fonction

Exercice 1

$f(x)=x^2$ en $a=1$

Étape 1. Calcul du taux d’accroissement en $a=1$
$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^2-1}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h$
Étape 2. Limite quand $h\to 0$ (définition de $f'(1)$)
$\displaystyle\lim_{h\to 0}(2+h)=2$
Donc $f'(1)=2$.
Étape 3. Tracé de la tangente en $A(1\;;\;f(1))=(1\;;\;1)$
Le coefficient directeur est $2$. Pour tracer, on peut utiliser un vecteur directeur $(1\;;\;2)$ à partir de $A$ (ou tout colinéaire, par exemple $(2\;;\;4)$).
(Remarque : on n’exige pas ici l’équation de la tangente.)

Exercice 2

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ en $a=2$

Étape 1. Calcul du taux d’accroissement en $a=2$
$\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}}{h}=\dfrac{\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h}=\dfrac{-h}{2(2+h)}\cdot\dfrac{1}{h}=-\dfrac{1}{2(2+h)}=-\dfrac{1}{4+2h}$

Étape 2. Limite quand $h\to 0$ (définition de $f'(2)$)
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(-\dfrac{1}{4+2h}\right)=-\dfrac{1}{4}$
Donc $f'(2)=-\dfrac{1}{4}$.

Étape 3. Équation de la tangente au point $A(2\;;\;f(2))=\left(2\;;\;\dfrac{1}{2}\right)$
Formule du cours : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Ici $a=2$, $f'(2)=-\dfrac{1}{4}$, $f(2)=\dfrac{1}{2}$.
$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}x+1$

Étape 4. Tracé
Placer $A\left(2\;;\;\dfrac{1}{2}\right)$, puis tracer la droite de pente $-\dfrac{1}{4}$ (par exemple avec un vecteur directeur $(4\;;\;-1)$ qui lui est colinéaire) ; ou bien tracer la tangente connaissant son équation.

Exercice 3

$f(x)=\sqrt{x}$ en $a=4$

Étape 1. Calcul du taux d’accroissement en $a=4$
$\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}$
On rationalise le numérateur :
$\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\dfrac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}=\dfrac{(4+h)-4}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}=\dfrac{h}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}=\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}$

Étape 2. Limite quand $h\to 0$ (définition de $f'(4)$)
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$
Donc $f'(4)=\dfrac{1}{4}$.

Étape 3. Tracé de la tangente en $A(4\;;\;f(4))=(4\;;\;2)$
Le coefficient directeur est $\dfrac{1}{4}$. Pour tracer : vecteur directeur $\left(1\;;\;\dfrac{1}{4}\right)$ (ou $(4\;;\;1)$qui lui est colinéaire) à partir de $A$.
(Remarque : on n’exige pas ici l’équation de la tangente.)