Dénombrement et combinatoire : les tirages classiques

Exercice 1

On appelle main une combinaison de $13$ cartes d’un jeu de $52$ cartes.
Cela signifie que l’ordre n’a pas d’importance (on ne "range" pas les cartes), donc on travaille avec des combinaisons.

On appelle main une combinaison de $13$ cartes dans un jeu de $52$ cartes.
Le nombre total de mains possibles est : $\begin{pmatrix} 52 \\ 13 \end{pmatrix}$

1. Mains contenant les quatre rois

On veut les 4 rois.

• On prend les 4 rois (obligatoires). Je n'ai qu'un seul choix.

• Il reste à choisir $13 - 4 = 9$ cartes parmi les $52 - 4 = 48$ cartes restantes.

Donc :

$\begin{pmatrix} 48 \\ 9 \end{pmatrix} = 167~710~664$ possibilités.

2. Mains contenant une seule couleur

Chaque couleur (pique, cœur, carreau, trèfle) contient $13$ cartes.

Donc une main de 13 cartes d’une seule couleur correspond à prendre toutes les cartes d’une couleur.
Il y a $4$ couleurs possibles.

Donc : on a $4$ possibilités.

3. Mains ne contenant aucun trèfle

Il y a $52 - 13 = 39$ cartes qui ne sont pas des trèfles.

On doit choisir 13 cartes parmi ces 39.

Donc :

$\begin{pmatrix} 39 \\ 13 \end{pmatrix} = 8~122~425~444$ possibilités.

Exercice 2

👉 Rappel

Un jeu de 52 cartes contient :

• 26 cartes rouges (cœurs + carreaux)

• 26 cartes noires (piques + trèfles)

• 4 as

• 4 rois

Un couple de cartes signifie que l’on tire 2 cartes distinctes (l’ordre n’importe pas).
Donc le nombre total de couples possibles est :

$\begin{pmatrix} 52 \\ 2 \end{pmatrix} = \dfrac{52 \times 51}{2} = 1326$

1. Les deux cartes sont rouges

On choisit 2 cartes parmi les 26 rouges :

$\begin{pmatrix} 26 \\ 2 \end{pmatrix} = \dfrac{26 \times 25}{2} = 325$ possibilités.

2. Une carte rouge et l’autre noire

On choisit :

• 1 carte rouge parmi 26

• 1 carte noire parmi 26

Donc :

$26 \times 26 = 676$ possibilités.

3. L’une des cartes au moins est rouge

Méthode :

• On calcule d’abord le total des couples : $1326$.

• On retire les couples sans rouge, c’est-à-dire les 2 cartes noires.

Nombre de couples noirs :

$\begin{pmatrix} 26 \\ 2 \end{pmatrix} = 325$

Donc :

$1326 - 325 = 1001$ possibilités

👉 on a utilisé ici une méthode par passage au complémentaire.

👉On aurait pu compter directement les possibilités.

"Obtenir au moins une rouge" signifie qu'on obtient "$2$ rouges" ou "$1$ noire et $1$ rouge".

Au total, on a donc : $676 + 325$ soit $1001$ possibilités.

4. L’une est un as, l’autre est un roi

• Il y a 4 as.

• Il y a 4 rois.

• On choisit 1 as et 1 roi.

Donc :

$4 \times 4 = 16$ possibilités.

Exercice 3

Données

Il y a 18 chevaux au départ.
Un tiercé = on choisit 3 chevaux parmi les 18.

• Dans l’ordre, on doit indiquer précisément le 1er, le 2e et le 3e.

• Dans le désordre, seuls les 3 chevaux comptent, sans importance de leur ordre.

1. Tiercé dans l’ordre

On doit former un p-uplet ou encore un arrangement de 3 chevaux parmi 18 :

$A_{18}^3 = 18 \times 17 \times 16 = 4896$

Donc, 4896 possibilités.

2. Tiercé dans le désordre

Ici, l’ordre n’a pas d’importance.
On doit simplement choisir 3 chevaux parmi 18 :

$\begin{pmatrix} 18 \\ 3 \end{pmatrix} = \dfrac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$

Donc, 816 possibilités.

👉 Quand on choisit 3 chevaux parmi 18 :

• Sans ordre → $\begin{pmatrix}18 \\ 3\end{pmatrix} = 816$

• Avec ordre → on doit placer ces 3 chevaux sur un podium : 1er, 2e, 3e.

Or, un même groupe de 3 chevaux peut être arrangé de 3! = 6 façons différentes (toutes les permutations possibles).

Exemple : si on choisit les chevaux $(A, B, C)$,
les ordres possibles sont : $(A,B,C)$, $(A,C,B)$, $(B,A,C)$, $(B,C,A)$, $(C,A,B)$, $(C,B,A)$.

$\text{Nombre avec ordre} = \text{Nombre sans ordre} \times 3!$