Dénombrement et combinatoire : des jeux de lettres

Exercice 1

On travaille avec les lettres du mot VOITURE : $V, O, I, T, U, R, E$.
Elles sont toutes distinctes (7 lettres différentes).

1) Nombre de « mots » de sept lettres (lettres toutes utilisées une fois)

Former un « mot » revient ici à permuter les 7 lettres distinctes.

$7! = 5040$

On a $5040$ possibilités.

2) Parmi ces mots, combien finissent par une consonne ?

Les consonnes dans VOITURE sont : $V, T, R$ (soit $3$ consonnes).

• On choisit la dernière lettre parmi ces 3 consonnes : $3$ choix.

• On permutera ensuite les $6$ lettres restantes sur les $6$ premières places : $6!$ façons.

$3 \times 6! = 3 \times 720 = 2160$

On a $2160$ possibilités.

Exercice 2

Données

Mot CHAVIRES : 8 lettres toutes distinctes.
Voyelles : $A,\ I,\ E$ $\Rightarrow$ $3$ voyelles.
Consonnes : $C,\ H,\ V,\ R,\ S$ $\Rightarrow$ $5$ consonnes.

1) Mots de 6 lettres distinctes

On choisit et on ordonne 6 lettres parmi 8 : un arrangement de 6 parmi 8.

$A_8^6 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20~160$ possibilités

2) Mots de 6 lettres avec voyelle en 2e et en 6e, et consonnes ailleurs

• Positions $2$ et $6$ : on y place 2 voyelles distinctes parmi $3$ (l’ordre compte car les positions sont différentes) :

$A_3^2 = 3 \times 2 = 6$ possibilités

• Positions $1,3,4,5$ : on y place 4 consonnes distinctes parmi $5$ (on choisit et on ordonne) :

$A_5^4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ possibilités

• Indépendance des choix, on multiplie :

$\text{Total} = A_3^2 \times A_5^4 = 6 \times 120 = 720$ possibilités

3) Mots de 6 lettres comportant 2 voyelles et 4 consonnes (sans contrainte de place)

Méthode 1 (choix des lettres puis arrangement des 6 places)

• Choisir $2$ voyelles parmi $3$ :

$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = 3$

• Choisir $4$ consonnes parmi $5$ :

$\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} = 5$

• Ordonner les $6$ lettres choisies sur $6$ places :

$A_6^6 = 6! = 720$

• Total :

$3 \times 5 \times 720 = 10~800$ possibilités

Méthode 2 (choix des positions des voyelles)

• Choisir les positions des $2$ voyelles parmi $6$ :

$\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15$

• Placer les $2$ voyelles choisies et ordonnées parmi $3$ :

$A_3^2 = 6$

• Placer les $4$ consonnes choisies et ordonnées parmi $5$ :

$A_5^4 = 120$

• Total :

$15 \times 6 \times 120 = 10~800$ possibilités

Exercice 3

L’urne contient les 5 lettres distinctes $A,\ E,\ I,\ M,\ P$.
Voyelles : $A,\ E,\ I$ (3). Consonnes : $M,\ P$ (2).
On tire successivement les 5 lettres et on les aligne : on obtient des permutations des 5 lettres.

$\text{Nombre total de « mots » possibles} = 5! = 120$

1) Un mot finissant par une consonne

$\text{Dernière lettre : } 2 \text{ choix (}M\text{ ou }P\text{)}$

$\text{Permutations des 4 autres lettres : } 4! = 24$

$\text{Total} = 2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$ possibilités.

2) Un mot commençant par une voyelle

$\text{Première lettre : } 3 \text{ choix (}A,E,I\text{)}$

$\text{Permutations des 4 autres lettres : } 4! = 24$

$\text{Total} = 3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$ possibilités

3) Un mot dont la première et la dernière lettre sont des voyelles

$\text{Première voyelle : } 3 \text{ choix}$

$\text{Dernière voyelle (distincte) : } 2 \text{ choix}$

$\text{Permutations des 3 lettres restantes au milieu : } 3! = 6$

$\text{Total} = 3 \times 2 \times 3! = 6 \times 6 = 36$ possibilités

4) Un mot dont la première et la dernière lettre sont des consonnes

$\text{Consonnes en positions 1 et 5 : } 2! = 2 \text{ façons (}MP\text{ ou }PM\text{)}$

$\text{Permutations des 3 voyelles au milieu : } 3! = 6$

$\text{Total} = 2 \times 3! = 2 \times 6 = 12$ possibilités

5) Un mot comportant 3 consonnes

$\text{Impossible : on ne dispose que de 2 consonnes (}M,P\text{).}$

Réponse : $0$ possibilité.