Composées et inéquation

Énoncé

Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $]2;+\infty[$ respectivement par :
$u(x)=x^2+x$ et $v(x)=\dfrac{x}{x-2}$

a) Montrer que, pour tout $x$ de $]2;+\infty[$ , $x^2+x>2$ .

b) On pose $f=v\circ u$ . Expliciter $f(x)$ .

Soit $g$ la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par :
$g(x)=\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}$

Résoudre, dans $]2;+\infty[$ , l'inéquation $g(x)\le 1$ .

a) Déterminer la fonction $f+g$ .

b) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ :
$6x^3+13x^2-3x-10=(x+2)(6x^2+x-5)$

Puis montrer que $6x²+x-5=6\,(x+1)\left(x-\dfrac 56\right)$ .

c) Résoudre dans $]2;+\infty[$ , l'équation $(f+g)(x)=0$ .

a) Je montre que, pour tout $x$ de $]2;+\infty[$ , $x^2+x>2$ .

$x> 2$ donc $x²> 4$ et $x²+x > 6 > 2$ .

Donc pour tout $x$ de $]2;+\infty[$ , $x^2+x-2>0$ et donc $x^2+x>2$ .

b) On pose $f=v\circ u$

$u(x)=x^2+x$ et $v(x)=\dfrac{x}{x-2}$ donc $f(x)=v\circ u(x)=v(x^2+x)=\dfrac{x^2+x}{x^2+x-2}$

Soit $g$ la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}$

Je résous, dans $]2;+\infty[$ , l'inéquation $g(x)\le 1$

$\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}\le 1 \Longleftrightarrow \dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}-1\le 0$

$\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}-\dfrac{3x^2+6x}{3x^2+6x}\le 0$

$\dfrac{7x+10}{3x^2+6x}\le 0 \Longleftrightarrow \dfrac{7x+10}{3x(x+2)}\le 0$

Je fais un tableau pour étudier le signe de $\dfrac{7x+10}{3x(x+2)}$

$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & \dfrac{-10}{7} & & 0 & & +\infty \\ \hline 7x+10 & & - & & - & 0 & + & & + & \\ \hline x & & - & & - & & - & 0 & + & \\ \hline x+2 & & - & 0 & + & & + & & + & \\ \hline f(x)=\dfrac{7x+10}{3x(x+2)} & & - & | & + & 0 & - & | & + & \\ \hline \end{array}$

Je constate que $\dfrac{7x+10}{3x(x+2)}\le 0$ pour $x\in]-\infty;-2[\cup\left[\dfrac{-10}{7};0\right[$ .

En conséquence donc dans $]2;+\infty[$ , l'inéquation $g(x)\le 1$ n'a pas de solution.

a) Je détermine la fonction $f+g$

$f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2+x-2}$ et $g(x)=\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}$

Avec les deux racines obtenues plus haut, je factorise $x^2+x-2$ en $(x-1)(x+2)$

$(f+g)(x)=\dfrac{x^2+x}{(x-1)(x+2)}+\dfrac{3x^2+13x+10}{3x(x+2)}=\dfrac{3x(x^2+x)+(x-1)(3x^2+13x+10)}{3x(x+2)(x-1)}=\dfrac{6x^3+13x^2-3x-10}{3x(x+2)(x-1)}$

b) Je montre que pour tout réel $x$ : $6x^3+13x^2-3x-10=(x+2)(6x^2+x-5)$

Je développe l'expression $(x+2)(6x^2+x-5)=6x^3+x^2-5x+12x^2+2x-10=6x^3+13x^2-3x-10$

c) Je résous dans $]2;+\infty[$ l'équation $(f+g)(x)=0$

J'utilise le résultat de b) pour factoriser $\dfrac{6x^3+13x^2-3x-10}{3x(x+2)(x-1)}=\dfrac{(x+2)(6x^2+x-5)}{3x(x+2)(x-1)}$

Je factorise $6x^2+x-5$ en $6\left(x-\dfrac{5}{6}\right)(x+1)$

donc $(f+g)(x)=\dfrac{6(x+2)\left(x-\dfrac{5}{6}\right)(x+1)}{3x(x+2)(x-1)}=\dfrac{2\left(x-\dfrac{5}{6}\right)(x+1)}{x(x-1)}$

$(f+g)(x)=0$ a pour solutions dans $\mathbb{R}$ $x=\left\lbrace -1;\dfrac{5}{6}\right\rbrace$ avec $x\ne 0$ et $x\ne 1$

Par contre, dans l'intervalle $]2;+\infty[$ l'équation $(f+g)(x)=0$ n'a pas de solution.

Énoncé

Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $]2;+\infty[$ respectivement par :
$u(x)=x^2+x$ et $v(x)=\dfrac{x}{x-2}$

a) Montrer que, pour tout $x$ de $]2;+\infty[$ , $x^2+x>2$ .

b) On pose $f=v\circ u$ . Expliciter $f(x)$ .

Soit $g$ la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par :
$g(x)=\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}$

Résoudre, dans $]2;+\infty[$ , l'inéquation $g(x)\le 1$ .

a) Déterminer la fonction $f+g$ .

b) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ :
$6x^3+13x^2-3x-10=(x+2)(6x^2+x-5)$

Puis montrer que $6x²+x-5=6\,(x+1)\left(x-\dfrac 56\right)$ .

c) Résoudre dans $]2;+\infty[$ , l'équation $(f+g)(x)=0$ .

a) Je montre que, pour tout $x$ de $]2;+\infty[$ , $x^2+x>2$ .

$x> 2$ donc $x²> 4$ et $x²+x > 6 > 2$ .

Donc pour tout $x$ de $]2;+\infty[$ , $x^2+x-2>0$ et donc $x^2+x>2$ .

b) On pose $f=v\circ u$

$u(x)=x^2+x$ et $v(x)=\dfrac{x}{x-2}$ donc $f(x)=v\circ u(x)=v(x^2+x)=\dfrac{x^2+x}{x^2+x-2}$

Soit $g$ la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}$

Je résous, dans $]2;+\infty[$ , l'inéquation $g(x)\le 1$

$\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}\le 1 \Longleftrightarrow \dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}-1\le 0$

$\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}-\dfrac{3x^2+6x}{3x^2+6x}\le 0$

$\dfrac{7x+10}{3x^2+6x}\le 0 \Longleftrightarrow \dfrac{7x+10}{3x(x+2)}\le 0$

Je fais un tableau pour étudier le signe de $\dfrac{7x+10}{3x(x+2)}$

Je constate que $\dfrac{7x+10}{3x(x+2)}\le 0$ pour $x\in]-\infty;-2[\cup\left[\dfrac{-10}{7};0\right[$ .

En conséquence donc dans $]2;+\infty[$ , l'inéquation $g(x)\le 1$ n'a pas de solution.

a) Je détermine la fonction $f+g$

$f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2+x-2}$ et $g(x)=\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}$

Avec les deux racines obtenues plus haut, je factorise $x^2+x-2$ en $(x-1)(x+2)$

$(f+g)(x)=\dfrac{x^2+x}{(x-1)(x+2)}+\dfrac{3x^2+13x+10}{3x(x+2)}=\dfrac{3x(x^2+x)+(x-1)(3x^2+13x+10)}{3x(x+2)(x-1)}=\dfrac{6x^3+13x^2-3x-10}{3x(x+2)(x-1)}$

b) Je montre que pour tout réel $x$ : $6x^3+13x^2-3x-10=(x+2)(6x^2+x-5)$

Je développe l'expression $(x+2)(6x^2+x-5)=6x^3+x^2-5x+12x^2+2x-10=6x^3+13x^2-3x-10$

c) Je résous dans $]2;+\infty[$ l'équation $(f+g)(x)=0$

J'utilise le résultat de b) pour factoriser $\dfrac{6x^3+13x^2-3x-10}{3x(x+2)(x-1)}=\dfrac{(x+2)(6x^2+x-5)}{3x(x+2)(x-1)}$

Je factorise $6x^2+x-5$ en $6\left(x-\dfrac{5}{6}\right)(x+1)$

donc $(f+g)(x)=\dfrac{6(x+2)\left(x-\dfrac{5}{6}\right)(x+1)}{3x(x+2)(x-1)}=\dfrac{2\left(x-\dfrac{5}{6}\right)(x+1)}{x(x-1)}$

$(f+g)(x)=0$ a pour solutions dans $\mathbb{R}$ $x=\left\lbrace -1;\dfrac{5}{6}\right\rbrace$ avec $x\ne 0$ et $x\ne 1$

Par contre, dans l'intervalle $]2;+\infty[$ l'équation $(f+g)(x)=0$ n'a pas de solution.

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