f(x)=x2+1
Domaine de définition : R
En posant g(x)=x2 et h(x)=x+1 on a f(x)=h∘g(x)
On sait que quand deux fonctions ont même sens de variation, leur composée est croissante, et quand elles sont de sens opposé, leur composée est décroissante.
La fonction h est toujours croissante. Sur l'intervalle ]−∞;0[ la fonction g est décroissante, donc h∘g est décroissante. Sur l'intervalle ]0;+∞[ la fonction g est croissante, donc la fonction h∘g est croissante.
xf(x)=x2+1−∞+∞↘01↗+∞+∞
2. f(x)=x2+2x
Domaine de définition : R
Je mets x2+2x sous forme canonique : f(x)=(x+1)2−1
En posant g(x)=x2, h(x)=x+1 et j(x)=x−1, on a f(x)=j∘g∘h(x)
Les fonctions h et j sont toujours croissantes. Sur l'intervalle ]−∞;−1[ la fonction g est décroissante, donc j∘g∘h est décroissante. Sur l'intervalle ]−1;+∞[ la fonction g est croissante, donc la fonction j∘g∘h est croissante.
xf(x)=x2+2x−∞+∞↘−1−1↗+∞+∞
3. f(x)=x+1−1
Domaine de définition : R∖{−1}
En posant g(x)=−x−1 et i(x)=x1 on a f(x)=i∘g(x)
Les fonctions g et i sont toujours décroissantes. Donc sur l'intervalle ]−∞;−1[ la fonction i∘g est décroissante et sur l'intervalle ]−1;+∞[ la fonction i∘g est également décroissante.
xf(x)=x+1−1−∞0+↗+∞−1∣−∞↗+∞0−
4. f(x)=x2+11
Domaine de définition : R
En posant g(x)=x2, h(x)=x+1 et i(x)=x1 on a f(x)=i∘h∘g(x)
La fonction h est toujours croissante, et la fonction i est toujours décroissante. La fonction g est décroissante sur l'intervalle ]−∞;0[ donc la fonction i∘h∘g sera croissante sur cet intervalle. La fonction g est croissante sur l'intervalle ]0;+∞[ donc la fonction i∘h∘g sera décroissante sur cet intervalle.
xf(x)=x2+11−∞0+↗01↘+∞0+
