Factorisation et division dans C

On considère l'équation
$(E): z^3 - 9z^2 + (22+12\text i)z - 12 - 36\text i = 0$

1. Montrons que (E) admet une solution réelle $z_0$.

$z_0\in\mathbb{R}$ est solution de (E) $\Longleftrightarrow$
$z_0^3 - 9z_0^2 + (22+12\text i)z_0 - 12 - 36\text i = 0$

$\Longleftrightarrow z_0^3 - 9z_0^2 + 22z_0 + 12\text i z_0 - 12 - 36\text i = 0$

$\Longleftrightarrow (z_0^3 - 9z_0^2 + 22z_0 - 12) + (12z_0 - 36)\text i = 0$

$\Longleftrightarrow \begin{cases} z_0^3 - 9z_0^2 + 22z_0 - 12 = 0 \\ 12z_0 - 36 = 0 \end{cases}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases} z_0^3 - 9z_0^2 + 22z_0 - 12 = 0 \\ z_0 = 3 \end{cases}$

Or $3^3 - 9\cdot 3^2 + 22\cdot 3 - 12 = 27 - 81 + 66 - 12 = 0$.

Donc (E) admet la solution réelle $z_0 = 3$.

2. Montrons que (E) admet une solution imaginaire pure $z_1$.

Soit $z_1 = \text i y$ avec $y\in\mathbb{R}$.

$(\text i y)^3 - 9(\text i y)^2 + (22+12\text i)(\text i y) - 12 - 36\text i = 0$

$\Longleftrightarrow -\text i y^3 + 9y^2 + 22\text i y - 12y - 12 - 36\text i = 0$

$\Longleftrightarrow (9y^2 - 12y - 12) - (y^3 - 22y + 36)\text i = 0$

$\Longleftrightarrow \begin{cases} 3y^2 - 4y - 4 = 0 \\ y^3 - 22y + 36 = 0 \end{cases}$

• Pour $3y^2 - 4y - 4 = 0$, discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 3\cdot (-4) = 16+48=64$.

Racines : $y_1 = \dfrac{4-8}{6} = -\dfrac{2}{3}$, \quad $y_2 = \dfrac{4+8}{6} = 2$.

• Vérification dans $y^3 - 22y + 36 = 0$ :

Si $y=-\tfrac{2}{3}$, on obtient $-\tfrac{584}{27}\neq 0$.
Si $y=2$, $2^3 - 22\cdot 2 + 36 = 8 - 44 + 36 = 0$.

Donc (E) admet une solution imaginaire pure $z_1 = 2\text i$.

3. Résolvons (E).

On sait que $3$ et $2\text i$ sont solutions.

On factorise :
$z^3 - 9z^2 + (22+12\text i)z - 12 - 36\text i = (z-3)(z-2\text i)(az+b)$, avec $a,b\in\mathbb{C}$.

Comparons les coefficients :

• coefficient en $z^3$ : $a=1$.

• terme constant : $(-3)(-2\text i)b = -12 - 36\text i \ \Longrightarrow\ 6\text i b = -12 - 36\text i$.

Donc $b = \dfrac{-12 - 36\text i}{6\text i} = -6+2\text i$.

Ainsi :
$z^3 - 9z^2 + (22+12\text i)z - 12 - 36\text i = (z-3)(z-2\text i)(z-6+2\text i)$.

Donc :
$(E) \Longleftrightarrow (z-3)(z-2\text i)(z-6+2\text i) = 0$

Solutions : $z=3$ ou $z=2\text i$ ou $z=6-2\text i$.

Ensemble des solutions :
$S = \{3,\ 2\text i,\ 6-2\text i\}$

Alternative : après avoir trouvé la racine réelle $z_0=3$ traitement par division euclidienne

On pose la division euclidienne de $P(z)=z^3-9z^2+(22+12\text i)z-12-36\text i$ par $z-3$ (après avoir trouvé la racine réelle $z_0=3$).

Étapes de la division posée (soustractions écrites ligne à ligne)
$P(z)=z^3-9z^2+(22+12\text i)z-12-36\text i$
on retire $(z-3)z^2=z^3-3z^2$
$\Rightarrow -6z^2+(22+12\text i)z-12-36\text i$
on retire $(z-3)(-6z)=-6z^2+18z$
$\Rightarrow (4+12\text i)z-12-36\text i$
on retire $(z-3)(4+12\text i)=(4+12\text i)z-(12+36\text i)$
$\Rightarrow 0$

Quotient obtenu : $Q(z)=z^2-6z+(4+12\text i)$, reste $0$.
Donc $P(z)=(z-3)\big(z^2-6z+(4+12\text i)\big)$.

Factorisation du quotient
$z^2-6z+(4+12\text i)=(z-2\text i)(z-6+2\text i)$.

En conséquence
$(E)\Longleftrightarrow (z-3)(z-2\text i)(z-6+2\text i)=0$,
solutions : $z=3$, $z=2\text i$, $z=6-2\text i$.