Conjugué et ensemble de nombres

Exercice 1

Lorsque l’on désire une écriture algébrique d’un nombre complexe, il suffit de multiplier le dénominateur par son conjugué. Le dénominateur devient alors un nombre réel.

$\dfrac{1}{\text i}=\dfrac{-\text i}{\text i\times (-\text i)}=\dfrac{-\text i}{1}=-\text i$

Il n’est pas interdit de retenir ce résultat, qui simplifie grandement les calculs :
$\boxed{\dfrac{1}{\text i}=-\text i}$

Pour le second calcul :

$z=\dfrac{1-\text i}{3+\text i\sqrt{2}}=\dfrac{(1-\text i)(3-\text i\sqrt{2})}{(3+\text i\sqrt{2})(3-\text i\sqrt{2})}$

$=\dfrac{(1-\text i)(3-\text i\sqrt{2})}{3^2+(\sqrt{2})^2}$

$=\dfrac{3-\text i\sqrt{2}-3\text i-(\sqrt{2})(-1)}{11}$

$=\dfrac{3-\sqrt{2}+\text i(-3-\sqrt{2})}{11}$

Donc :

$z=\dfrac{3-\sqrt{2}}{11}+\text i\dfrac{-3-\sqrt{2}}{11}$

👉 Cet exercice met en évidence la technique du conjugué pour transformer un nombre complexe avec dénominateur imaginaire en une écriture algébrique claire, en séparant les parties réelle et imaginaire.

Exercice 2

👉 Ces calculs montrent comment mettre en forme algébrique des quotients de nombres complexes en utilisant le conjugué du dénominateur, afin d’obtenir directement les parties réelles et imaginaires.

$\checkmark\quad$ Forme algébrique du nombre complexe $Z_1$

$Z_1=\dfrac{1}{3-\text i}=\dfrac{3+\text i}{9+1}=\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}\text i$

$\checkmark\quad$Forme algébrique du nombre complexe $Z_2$

$Z_2=\dfrac{1}{6-5\text i}=\dfrac{6+5\text i}{36+25}=\dfrac{6+5\text i}{61}=\dfrac{6}{61}+\dfrac{5}{61}\text i$

$\checkmark\quad$Forme algébrique du nombre complexe $Z_3$

$Z_3=\dfrac{2}{5-2\text i}=\dfrac{2(5+2\text i)}{25+4}=\dfrac{10+4\text i}{29}=\dfrac{10}{29}+\dfrac{4}{29}\text i$

Exercice 3

On considère les deux nombres complexes $Z=\dfrac{-1+3\text i}{3-2\text i} \text{ et } Z'=\dfrac{-1-3\text i}{3+2\text i}$

$1.$
$Z+Z'=\dfrac{-1+3\text i}{3-2\text i}+\dfrac{-1-3\text i}{3+2\text i}$

$\phantom{Z+Z'}=\dfrac{(-1+3\text i)(3+2\text i)+(-1-3\text i)(3-2\text i)}{(3-2\text i)(3+2\text i)}$
$\phantom{Z+Z'}=\dfrac{-3-2\text i+9\text i-6-3+2\text i-9\text i-6}{9+4}$

$\boxed{Z+Z'=-\dfrac{18}{13}\in \mathbb{R}}$

$Z-Z'=\dfrac{-1+3\text i}{3-2\text i}-\dfrac{-1-3\text i}{3+2\text i}$

$\phantom{Z-Z'}=\dfrac{(-1+3\text i)(3+2\text i)-(-1-3\text i)(3-2\text i)}{(3-2\text i)(3+2\text i)}$
$\phantom{Z-Z'}=\dfrac{-3-2\text i+9\text i-6+3-2\text i+9\text i+6}{9+4}$

$\boxed{Z-Z'=\dfrac{14\text i}{13}\in \text i\mathbb{R}}$

$2.$ On remarque que :

$\overline{Z}=\overline{\left(\dfrac{-1+3\text i}{3-2\text i}\right)}=\dfrac{\overline{-1+3\text i}}{\overline{3-2\text i}}=\dfrac{-1-3\text i}{3+2\text i}=Z'$

D'après les propriétés sur le conjugué d'un nombre complexe, on a :

$Z+Z'=Z+\overline{Z}=2\Re(Z) \quad \text{et} \quad Z-Z'=Z-\overline{Z}=2\text i \Im(Z)$

Or $Z=\dfrac{-1+3\text i}{3-2\text i}=\dfrac{(-1+3\text i)(3+2\text i)}{(3-2\text i)(3+2\text i)}=\dfrac{-3-2\text i+9\text i-6}{13}=\dfrac{-9+7\text i}{13}$

Donc $2\Re(Z)=\dfrac{-18}{13} \quad \text{et} \quad 2\Im(Z)=\dfrac{14\text i}{13}$

Et l’on retrouve bien les résultats obtenus au 1. par le calcul.

👉 Ce passage illustre la puissance des propriétés du conjugué pour simplifier les calculs avec les nombres complexes et vérifier des résultats par deux méthodes différentes.