Racines n-ièmes de l'unité (1)

Exercice 1

On considère $j=-\dfrac12+\text i\dfrac{\sqrt3}{2}$.

1. Calcul de $j^3$

Étape 1 — Reconnaître la forme trigonométrique.
On note que $|j|=\sqrt{\left(-\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1$.
Son argument principal est $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ car $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac12$ et $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$.
Donc $j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

Étape 2 — Élever à la puissance 3.
On utilise la formule de Moivre : $(\cos\theta+\text i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+\text i\sin(n\theta)$
Ainsi $j^3=\cos(3\times\dfrac{2\pi}{3})+\text i\sin(3\times\dfrac{2\pi}{3})=\cos(2\pi)+\text i\sin(2\pi)=1$.

Conclusion: $j^3=1$.

2. Calcul de $1+j+j^2$

Méthode A — En utilisant $j^3=1$ (raisonnement “suite géométrique”).
On a $j\neq 1$ et $j^3=1$.
On considère la somme $S=1+j+j^2$. On multiplie par $(j-1)$:
$(j-1)S=(j-1)(1+j+j^2)=j-1+j^2-j+j^3-j^2=j^3-1=1-1=0$.
Comme $j\neq 1$, on a $j-1\neq 0$, donc $S=0$.

Conclusion par la méthode A: $1+j+j^2=0$.

Méthode B — Calcul direct en forme algébrique.
On calcule d’abord $j^2$:
$j^2=\left(-\dfrac12+\text i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2=\left(-\dfrac12\right)^2+2\left(-\dfrac12\right)\left(\text i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)+\left(\text i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2$.
On obtient $j^2=\dfrac14-\text i\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac34=\left(\dfrac14-\dfrac34\right)-\text i\dfrac{\sqrt3}{2}=-\dfrac12-\text i\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Puis on additionne:
$1+j+j^2=1+\left(-\dfrac12+\text i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)+\left(-\dfrac12-\text i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=1-\dfrac12-\dfrac12+0=0$.

Conclusion par la méthode B : $1+j+j^2=0$.

Bilan de l’exercice
On a $j^3=1$ et $1+j+j^2=0$ (vérifié par deux méthodes indépendantes).

👉 Remarque: $j$ est une racine cubique de l’unité ; elle satisfait l’équation $z^2+z+1=0$, ce qui équivaut à $1+z+z^2=0$ lorsque $z\neq 1$.

Exercice 2

Rappels : $\omega^{7}=1$ et $1+\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}+\omega^{6}=0$. (somme des termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\omega$).
Conjugaison : $\overline{\omega^{k}}=\omega^{-k}=\omega^{7-k}$.

1. Somme $S+T$

$S+T=(\omega+\omega^{2}+\omega^{4})+(\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6})$
$=\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}+\omega^{6}$
$=-1$.

2. Lien entre $S$ et $T$, puis produit $S\cdot T$

$\overline{\omega}=\omega^{6}$, $\overline{\omega^{2}}=\omega^{5}$, $\overline{\omega^{4}}=\omega^{3}$.
Donc $\overline{S}=\omega^{6}+\omega^{5}+\omega^{3}=T$.

Ainsi $T=\overline{S}$ et $S\cdot T=S\overline{S}=|S|^{2}$.

Calcul direct :
$(\omega+\omega^{2}+\omega^{4})(\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6})$
$=\omega^{4}+\omega^{6}+1+\omega^{5}+1+\omega+\ 1+\omega^{2}+\omega^{3}$
$=3+(\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}+\omega^{6})$
$=3+(-1)=2$.

Donc $S\cdot T=2$.

3. Module de $S$

$S\cdot T=|S|^{2}$, donc $|S|^{2}=2$ et $|S|=\sqrt{2}$.

4. Forme algébrique de $S$ et $T$

$S+T=-1$ et $T=\overline{S}$.

$\mathrm{Re}(S)=\dfrac{S+\overline{S}}{2}=\dfrac{S+T}{2}=-\dfrac{1}{2}$.

$|S|^{2}=(\mathrm{Re},S)^{2}+(\mathrm{Im},S)^{2}=2$, donc
$(\mathrm{Im},S)^{2}=2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{4}$.

Ainsi $\mathrm{Im},S=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.

Comme $\mathrm{Im}(S)=\sin(2\pi/7)+\sin(4\pi/7)+\sin(8\pi/7)$ est positive,
on obtient $\mathrm{Im},S=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.

Donc
$S=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$T=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.

Bilan
$S+T=-1$,
$S\cdot T=2$,
$|S|=\sqrt{2}$,
$S=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,
$T=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.

👉 Remarque: $\omega$ est une racine septième de l’unité.