Calcul de probabilités et espérance mathématique (1)

Exercice 1

Les jetons sont indiscernables au toucher; le tirage s'effectue dans des conditions d'équiprobabilité.
Le tirage simultané de deux jetons est assimilable à un tirage sans remise; on peut s'aider d'un arbre pondéré.
Pour le premier tirage, on prend 1 jeton parmi 10; pour le second tirage, on prend 1 jeton parmi les 9 restants.

👉 Conseil : Dans un tirage sans remise, pense à adapter les probabilités du second tirage en fonction du premier (dénominateur $9$ au lieu de $10$).

Exercices d'application : loi de probabilité et variable aléatoire : image 3

On déduit la probabilité d'obtenir 2 jetons blancs : $p(A) = p(B \cap B) = (7/10)*(2/3) = 7/15$

2. a) X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.
   $p(X=0) = p(N\cap N) = p(N)* p_N(N) = (3/10) (2/9) = 1/15$
   $p(X=1) = p((B\cap N) \cup (N\cap B)) = p(B) p_B(N) + p(N)* p_N(B)) = (7/10) (1/3) + (3/10) (7/9) = 7/15$

On peut présenter la loi de probabilité de X dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline p(X=x_i)\dfrac{}{} & \frac{1}{15} & \frac{7}{15} & \frac{7}{15} \\ \hline \end{array}$

👉 Conseil : Vérifie toujours que la somme des probabilités des issues exhaustives vaut $1$ pour valider ta loi.

On vérifie que $(1/15) + (7/15) + (7/15) = 1$

b) Espérance de X
$E(X) = \displaystyle \sum x_i\times p(X=x_i)=\dfrac{1}{15} (0 \times 1 + 1 \times 7 + 2\times7) =\dfrac{7}{5}$

👉 Conseil : L’espérance se lit comme une moyenne pondérée des valeurs possibles par leurs probabilités.

Exercice 2

Les boules sont indiscernables au toucher, le tirage s'effectue donc en situation d'équiprobabilité.
On peut s'aider d'un arbre pondéré qui traduit le tirage des deux boules sans remise.

👉 Conseil : Note bien les branches conditionnelles : par exemple $p_R(R)$ signifie “probabilité de tirer rouge au second tirage sachant que la première était rouge”.

Exercices d'application : loi de probabilité et variable aléatoire : image 2

La variable X peut prendre les valeurs 0, 1 et 2.
$p(X=0) = p(R\cap R) = p(R)* p_R(R) = (3/5) (1/2) = 3/10$
$p(X=1) = p((V\cap R) \cup (R\cap V)) = (2/5) (3/4) + (3/5) * (1/2) = 3/5$
$p(X=2) = 1/10$
On peut présenter la loi de probabilité de X dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline p(X=x_i)\dfrac{}{} & \frac{3}{10} & \frac{3}{5} & \frac{1}{10} \\ \hline \end{array}$

On vérifie que $(3/10) + (3/5) + (1/10) = 1$

2. Espérance de X
   $E(X) = \displaystyle \sum x_i\times p(X=x_i)=0\times\dfrac{3}{10} +1\times\dfrac{3}{5}+2\times\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{5}=0.8$

👉 Conseil : Tu peux garder l’écriture fractionnaire jusqu’au bout, puis donner la valeur décimale en plus pour l’interprétation.

3. L'événement A : «les deux boules tirées sont de même couleur» est réalisé lorsqu'on tire soit 2 boules rouges (cas $X=0$), soit 2 boules vertes (cas $X=2$).
   Ainsi A peut s'exprimer de deux façons :
   $A = (X=0) union (X=2)$, d'où $p(A) = p(X=0) + p(X=2) = (3/10) + (1/10) = 0.4$

$(X=1)$ est l'événement complémentaire de A, d'où $p(A) = 1 - p(X=1) = 1 - (3/5) = 0.4$

👉 Conseil : Utilise l’événement complémentaire quand c’est plus rapide à calculer.

Exercice 3

Solution

1. Arbre pondéré :
   

👉 Conseil : Repère bien quelle roue est lancée en second selon la couleur obtenue au premier lancer (B si rouge, A sinon).

2. D'après l'arbre de la question 1., on a :
   $p(\text{E}) = p(\text{RR}) = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{50} = 0,02 \quad \\ \text{ et } \quad \\ p(\text{F}) = p((\text{RN}) \cup (\text{NR})) = p(\text{RN}) + p(\text{NR}) = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{4}{5} + \dfrac{9}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{50} + \dfrac{9}{100} = \dfrac{17}{100} = 0,17$

👉 Conseil : Additionne des issues disjointes (RN et NR) pour obtenir la probabilité d’“une seule rouge”.

3. a) Si les 2 cases sont rouges, le joueur reçoit 10 euros alors qu'il avait misé 1 euro, il gagne donc 9 euros : $X = 9$.
   donc $p(X = 9) = p(\text{E}) = 0,02$
   Si une seule case est rouge, le joueur reçoit 2 euros alors qu'il avait misé 1 euro ,il gagne donc 1 euro : $X = 1$.
   Donc $p(X=1) = p(\text{F}) = 0,17$
   Sinon (si les 2 cases sont noires), le joueur ne reçoit rien alors qu'il avait misé 1 euro, il perd donc 1 euro : $X = -1$.
   donc $p(X = -1) = p(\text{NN}) = 1 - p(\text{E}) - p(\text{F}) = 1 - 0,02 - 0,17 = 0,81$

D'où la loi de probabilité de X :
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 1 & 9 \\ \hline p(X=x_i) & 0.81 & 0.17 & 0.02 \\ \hline \end{array}$

3. b) En application de la formule de l'espérance mathématique :
   $E(X) = \displaystyle \sum x_i\times p(X=x_i)=0,81\times(-1)+0,17\times1+0,02\times9=-0,81+0,17+0,18=-0,46$
   Interprétation : en moyenne, le joueur perd $0,46$ euro à chaque tour. Quelle arnaque ! (mais il faut bien que l'organisateur du jeu gagne sa vie)