Approfondis l’étude des variations de fonctions avec calculs et interprétations

Exercice 1

Énoncé rappelé. $f(x)=x^2-4x+3$. Calculs, points et tracé.

Étape 1. Images utiles.
$f(0)=0-0+3=3$.
$f(1)=1-4+3=0$.
$f(3)=9-12+3=0$.

Étape 2. Points de la courbe.
$(0;3)$, $(1;0)$, $(3;0)$ appartiennent à la courbe.

Étape 3. Structure de $f$.
$f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. Les zéros sont $x=1$ et $x=3$, la parabole est tournée vers le haut. Le sommet est à mi-chemin $x=\dfrac{1+3}{2}=2$ et $f(2)=4-8+3=-1$.

Interprétation. Le tracé passe par l’ordonnée à l’origine $3$, coupe l’axe $x$ en $1$ et $3$, et admet un minimum $-1$ au point $(2;-1)$.

Conseil. Factoriser un trinôme simple donne d’un coup les zéros et aide au tracé rapide.

Exercice 2

Énoncé rappelé. $g(x)=2x-1$. Deux taux de variation et interprétation.

Étape 1. Entre $x=1$ et $x=4$.
$g(1)=1$, $g(4)=7$.
$\text{taux}=\dfrac{7-1}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2$.

Étape 2. Entre $x=-2$ et $x=3$.
$g(-2)=-5$, $g(3)=5$.
$\text{taux}=\dfrac{5-(-5)}{3-(-2)}=\dfrac{10}{5}=2$.

Étape 3. Interprétation.
Le taux est constant et égal à $2$, qui est le coefficient directeur. La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Conseil. Pour toute affine $ax+b$, inutile de recalculer à chaque fois : le taux vaut toujours $a$.

Exercice 3

Énoncé rappelé. $h(x)=-x^2+4x$. Taux sur deux intervalles et sens de variation.

Étape 1. Entre $x=1$ et $x=2$.
$h(1)=-1+4=3$, $h(2)=-4+8=4$.
$\text{taux}=\dfrac{4-3}{2-1}=1>0$ donc $h$ croît sur $[1,2]$.

Étape 2. Entre $x=2$ et $x=3$.
$h(3)=-9+12=3$.
$\text{taux}=\dfrac{3-4}{3-2}=-1<0$ donc $h$ décroît sur $[2,3]$.

Étape 3. Interprétation globale.
$h(x)=-(x-2)^2+4$ a un sommet en $(2;4)$. Elle croît jusqu’à $x=2$, puis décroît après $2$.

Conseil. Compléter le carré repère rapidement le sommet et donc les zones de croissance/décroissance.

Exercice 4

Énoncé rappelé. $p(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x$. Images, deux taux et comparaison.

Étape 1. Images.
$p(1)=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$.
$p(3)=\dfrac{1}{2}\times 9-3=\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}$.
$p(5)=\dfrac{25}{2}-5=\dfrac{25}{2}-\dfrac{10}{2}=\dfrac{15}{2}$.

Étape 2. Taux entre $1$ et $3$.
$\text{taux}_{[1,3]}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}{3-1}=\dfrac{2}{2}=1$.

Étape 3. Taux entre $3$ et $5$.
$\text{taux}_{[3,5]}=\dfrac{\dfrac{15}{2}-\dfrac{3}{2}}{5-3}=\dfrac{\dfrac{12}{2}}{2}=\dfrac{6}{2}=3$.

Étape 4. Interprétation.
Le taux augmente quand $x$ augmente : la courbe devient plus pentue. C’est cohérent avec le terme quadratique positif, la fonction est convexe.

Conseil. Sur une fonction quadratique $ax^2+bx+c$ avec $a>0$, attendez-vous à des taux de plus en plus grands à droite.

Exercice 5

Énoncé rappelé. $C(x)=5x+200$ (euros). Coûts et interprétation économique.

Étape 1. Coût pour $x=20$.
$C(20)=5\times 20+200=100+200=300$ €.

Étape 2. Coût supplémentaire de $50$ à $60$.
$C(60)-C(50)=(5\times 60+200)-(5\times 50+200)=500-450=50$ €.

Étape 3. Taux de variation entre $50$ et $60$.
$\text{taux}=\dfrac{500-450}{60-50}=\dfrac{50}{10}=5$ €/objet.

Interprétation. Le coût marginal est constant et vaut $5$ € par objet, égal au coefficient directeur de la fonction.

Conseil. Dans un modèle linéaire, le « coût par unité supplémentaire » est constant et se lit directement sur le coefficient de $x$.