Fonctions et taux de variations

Exercice 1

Énoncé rappelé. $f(x)=2x+5$. Calculer des images et un antécédent.

Étape 1. Calcul de $f(0)$, $f(2)$, $f(-3)$.
$f(0)=2\times 0+5=5$.
$f(2)=2\times 2+5=9$.
$f(-3)=2\times(-3)+5=-6+5=-1$.

Étape 2. Image de $4$.
$f(4)=2\times 4+5=8+5=13$.

Étape 3. Antécédent de $9$.
On résout $2x+5=9$.
$2x=9-5=4$ donc $x=\dfrac{4}{2}=2$.

Conclusion. $f(0)=5$, $f(2)=9$, $f(-3)=-1$, $f(4)=13$, et $9$ a pour antécédent $2$.

Conseil. Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$, l’antécédent de $y$ se trouve en isolant $x$ dans $ax+b=y$.

Exercice 2

Énoncé rappelé. $g(x)=x^2$. Compléter et interpréter.

Étape 1. Calcul du tableau.
$g(-2)=(-2)^2=4$.
$g(-1)=(-1)^2=1$.
$g(0)=0^2=0$.
$g(1)=1^2=1$.
$g(2)=2^2=4$.

Tableau complété.
$x:\ -2\ \ -1\ \ 0\ \ 1\ \ 2$
$g(x):\ 4\ \ 1\ \ 0\ \ 1\ \ 4$

Étape 2. Lecture graphique.
La courbe est une parabole à sommet sur l’axe des ordonnées. Les points calculés sont symétriques par rapport à $x=0$.

Conseil. Au carré, les signes disparaissent : des abscisses opposées donnent la même image.

Exercice 3

Énoncé rappelé. $h(x)=3x-1$.

Étape 1. Expression littérale.
On a déjà $h(x)=3x-1$.

Étape 2. Notation par flèche.
$x\mapsto 3x-1$ signifie « à $x$ on associe $3x-1$ ».

Étape 3. Calcul de $h(5)$.
$h(5)=3\times 5-1=15-1=14$.

Remarque. Les notations $y=h(x)$ et $x\mapsto 3x-1$ décrivent la même règle de calcul.

Exercice 4

Énoncé rappelé. $k(x)=\dfrac{1}{4}x^2$. Taux de variation entre $2$ et $6$.

Étape 1. Calcul des images.
$k(2)=\dfrac{1}{4}\times 2^2=\dfrac{1}{4}\times 4=1$.
$k(6)=\dfrac{1}{4}\times 6^2=\dfrac{1}{4}\times 36=9$.

Étape 2. Taux de variation.
$\text{taux}=\dfrac{k(6)-k(2)}{6-2}=\dfrac{9-1}{4}=\dfrac{8}{4}=2$.

Interprétation. La pente de la sécante entre $(2,1)$ et $(6,9)$ vaut $2$.

Conseil. Écrire systématiquement « images puis quotient » évite les erreurs.

Exercice 5

Énoncé rappelé. $m(x)=-2x+3$. Taux de variation entre $0$ et $4$ et sens de variation.

Étape 1. Images.
$m(0)=-2\times 0+3=3$.
$m(4)=-2\times 4+3=-8+3=-5$.

Étape 2. Taux de variation.
$\text{taux}=\dfrac{m(4)-m(0)}{4-0}=\dfrac{-5-3}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2$.

Étape 3. Interprétation.
Taux négatif, donc $m$ est décroissante sur tout intervalle contenant $[0,4]$. Pour une affine $ax+b$, le taux est constant et égal à $a$, ici $-2$.

Conseil. Retenez « coefficient directeur $=a$ » : il donne instantanément le sens de variation.