Taux de variation et monotonie

I. Taux de variation d'une fonction entre deux valeurs de $x$

Le taux de variation permet de mesurer comment une fonction évolue entre deux valeurs.

Définition :

Entre $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 \ne x_2$), le taux de variation de $f$ est :

$\text{taux de variation }=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

taux de variation=f(x2)−f(x1)x2−x1\text{taux de variation} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

taux de variation

=

x

2

​

−

x

1

​

f

(

x

2

​

)

−

f

(

x

1

​

)

​

Cela correspond à la pente de la droite sécante passant par les points $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$ sur le graphique.

Exemple :

Soit $f(x) = \dfrac 14 x^2$.

On calcule le taux de variation entre $x_1 = 2$ et $x_2 = 6$ :

• $f(2) = 1$, $f(6) = 9$

• $\dfrac{9 - 1}{6 - 2} = \dfrac{8}{4} = 2$

Donc le taux de variation est 2 entre $x = 2$ et $x = 6$. la pente de la sécante (en rouge) vaut $2$.

II. Fonctions monotones et lien avec le signe du taux de variation

Une fonction peut être :

• Croissante sur un intervalle : lorsque $f(x_2) \ge f(x_1)$ dès que $x_2 \ge x_1$

• Décroissante sur un intervalle : lorsque $f(x_2) \le f(x_1)$ dès que $x_2 \ge x_1$

Lien avec le taux de variation :

• Si le taux de variation est positif, la fonction est croissante entre les deux points.

• Si le taux de variation est négatif, la fonction est décroissante.

Exemple 1 (fonction croissante) :

$f(x) = 2x + 1$
Entre $x = 1$ et $x = 4$ :

• $f(1) = 3$, $f(4) = 9$

• Taux de variation : \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2 > 0
  La fonction est croissante.

Exemple 2 (fonction décroissante) :

$g(x) = -3x + 5$
Entre $x = 0$ et $x = 2$ :

• $g(0) = 5$, $g(2) = -1$

• Taux de variation : $\dfrac{-1 - 5}{2 - 0} = \dfrac{-6}{2} = -3$
  La fonction est décroissante.

Conclusion

Les fonctions permettent de modéliser des évolutions continues. Grâce aux différents modes de représentation (formule ou graphique), on peut observer leur comportement, calculer des taux de variation et déterminer si elles sont croissantes ou décroissantes.