Les fonctions comme modèles mathématiques d’évolutions continues

I. Différents modes de représentation d’une fonction

Une fonction permet de modéliser une situation dans laquelle à chaque valeur de $x$ (variable indépendante), on associe une seule valeur de $y$ (grandeur dépendante).

On peut représenter une fonction de plusieurs façons :

1. Expression littérale

C’est une formule mathématique qui relie $y$ à $x$.
Exemple : $f(x) = 2x + 3$

Cela signifie que pour chaque valeur de $x$, on calcule $y$ en multipliant $x$ par 2 puis en ajoutant 3.

Application numérique : $f(1)=2\times 1+3=5$. Au nombre $1$ la fonction $f$ fait correspondre le nombre $5$. On dit que $5$ est l'image de $1$ par la fonction $f$.

2. Représentation graphique

On trace dans un repère les points de coordonnées $(x, f(x))$. Ces points forment une courbe ou une droite selon la nature de la fonction.

Exemple :
La fonction $f(x) = 2x + 3$ est représentée par une droite croissante.
Pour $x = 0$, $f(0) = 3$ ; pour $x = 1$, $f(1) = 5$ ; pour $x = 2$, $f(2) = 7$...

II. Notations fonctionnelles : $y = f(x)$ et $x \mapsto f(x)$

1. Notation $y = f(x)$

On lit : « $y$ est l’image de $x$ par la fonction $f$ ».
Elle permet de dire que $y$ dépend de $x$, et que la règle de calcul est donnée par $f$.

2. Notation $x \mapsto f(x)$

On lit : « $x$ est envoyé sur $f(x)$ ».
C’est une autre manière d’écrire la règle de la fonction.

Exemple :
Soit $f$ la fonction définie par $x \mapsto 3x - 1$.
Cela signifie que pour tout $x$, $f(x) = 3x - 1$.