Valeur moyenne d'une intégrale

I. Définition : valeur moyenne d’une fonction

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ On appelle la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a,b]$ le nombre réel $\mu$défini par :

$\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x$

La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ correspond à la hauteur du rectangle de côté $b-a$ dont l'aire est égale à l'aire sous la courbe représentative de $f$.

En physique, si $f$ est la fonction qui donne la vitesse d’un mobile en fonction du temps, la valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$ représente la vitesse moyenne de $f$ sur $[a ; b]$.

Exemple : Soit à calculer la valeur moyenne de $f\mapsto -x^2+5x+2$ sur $[0 ; 3]$.$m=\dfrac{1}{3-0}\begin{aligned}\int_0^3(-x^2+5x+2)\text dx\end{aligned}$$m=\dfrac{1}{3-0}\left[-\dfrac{x^3}{3}+5\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_0^3$$m=\dfrac 13\times 19=6,5$II. Exemple : vitesse moyenne d’un mobile

On considère un mobile se déplaçant sur une ligne droite.
Sa vitesse (en m/s) en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par :

$v(t) = -t^2 + 5t + 2$

On cherche la vitesse moyenne du mobile entre $t=0$ et $t=3$ secondes.

Par définition :

$\mu = \dfrac{1}{3-0} \displaystyle\int_0^3 (-t^2 + 5t + 2)\text dt$

Calcul :

$\mu = \dfrac{1}{3} \left[-\dfrac{t^3}{3} + \dfrac{5t^2}{2} + 2t \right]_0^3$

$\mu = \dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{27}{3} + \dfrac{5 \times 9}{2} + 6 \right)$

$\mu = \dfrac{1}{3} \left( -9 + \dfrac{45}{2} + 6 \right)$

$\mu = \dfrac{1}{3} \left( -3 + \dfrac{45}{2} \right)$

$\mu = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{39}{2}$

$\mu = \dfrac{39}{6} = 6,5$

Interprétation physique

La valeur moyenne de la vitesse sur $[0;3]$ est $6,5$ m/s

Cela signifie que :

$\checkmark$ si le mobile avait roulé à vitesse constante, il aurait fallu une vitesse de $6,5$ m/s pour parcourir la même distance sur cet intervalle de temps.

$\checkmark$Autrement dit, la valeur moyenne permet de remplacer un mouvement variable par un mouvement uniforme équivalent.