Un peu de raisonnement logique en mathématiques

I. Connecteurs logiques : « et », « ou »

1. Conjonction : « et »

Une proposition du type « $P$ et $Q$ » est vraie seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.

Exemple :
$2$ est un nombre pair et $2 \gt 0$ → vrai, car les deux affirmations sont vraies.
$2$ est un nombre pair et $2 \lt 0$ → faux, car la deuxième affirmation est fausse.

2. Disjonction : « ou »

Une proposition du type « $P$ ou $Q$ » est vraie si au moins l’une des deux affirmations est vraie (sens logique = ou inclusif).

Exemple :
$3$ est impair ou $3 \gt 10$ → vrai (car $3$ est impair, même si $3 \gt 10$ est faux).

II. Statut d’une égalité et rôle des lettres

1. Identité

Une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres considérées.
→ La lettre est une variable ou une indéterminée.

Exemple :
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ est une identité vraie quels que soient $a$ et $b$.

2. Équation

Une égalité vraie seulement pour certaines valeurs des lettres.
→ La lettre est une inconnue.

Exemple :
$2x + 1 = 7$ est une équation. Elle est vraie seulement si $x = 3$.

3. Paramètre

Un paramètre est une lettre fixe mais non connue, qui influence l’équation.

Exemple :
Résoudre l'équation d'inconnue $x$ réelle : $x^2 + ax + 1 = 0$ : ici, $a$ est un paramètre.

III. Contre-exemple

1. Infirmer une proposition universelle

Une proposition universelle affirme qu'une propriété est vraie pour tous les cas possibles.

Il suffit d’un seul contre-exemple pour prouver qu’elle est fausse.

Exemple de proposition :
« Tous les nombres premiers sont impairs. »
→ Faux, car $2$ est un nombre premier pair. C’est un contre-exemple.

IV. Réciproque d’une proposition

1. Définition

La réciproque d’une implication « Si $P$, alors $Q$ » est « Si $Q$, alors $P$ ».

La proposition de départ peut être vraie, sans que la réciproque le soit.

Exemple :

• Propriété : « Si un nombre est divisible par $4$, alors il est pair » → vraie.

• Réciproque : « Si un nombre est pair, alors il est divisible par $4$ » → fausse.
  Contre-exemple : $6$ est pair mais pas divisible par $4$.

V. Conditions nécessaires, suffisantes et équivalence

1. Condition suffisante

On dit que $P$ est suffisante pour que $Q$ soit vraie si « Si $P$, alors $Q$ ».

Exemple :
« Être un carré parfait est une condition suffisante pour être un entier positif. »

2. Condition nécessaire

On dit que $Q$ est nécessaire à $P$ si « Si $P$, alors $Q$ ».

Exemple :
« Être un entier est une condition nécessaire pour être un carré parfait. »

3. Équivalence logique

Lorsque deux affirmations $P$ et $Q$ sont vraies l’une si et seulement si l’autre est vraie, on dit qu’il y a équivalence logique. On écrit :
$P \Leftrightarrow Q$

Exemple :
« Un entier est pair si et seulement si son carré est pair. »

Exemple d’application globale

Soit la proposition $P(n)$ : « Si $n$ est divisible par $6$, alors $n$ est pair ».

• Cette proposition est vraie (car tout multiple de $6$ est aussi multiple de $2$).

• La réciproque : « Si $n$ est pair, alors $n$ est divisible par $6$ » → fausse.

• Contre-exemple : $4$ est pair mais pas divisible par $6$.

• $n$ est ici une variable.

• La divisibilité par $2$ est une condition nécessaire pour être divisible par $6$.

• La divisibilité par $6$ est une condition suffisante pour être divisible par $2$.