Les ensembles et leur vocabulaire

I. Appartenance et notation des ensembles

1. Définition d’un ensemble

Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.
On note les ensembles par des lettres majuscules : $A$, $B$, $E$, $\mathbb{N}$...

Les éléments sont notés entre accolades.
Exemples :

• $A = \{1, 2, 3\}$

• $B = \{a, b, c, d\}$

2. Appartenance

On écrit :

• $x \in A$ si $x$ est un élément de $A$

• $x \notin A$ si $x$ n’appartient pas à $A$

Exemples :

• $2 \in \{1,2,3\}$

• $5 \notin \{1,2,3\}$

II. Sous-ensemble et inclusion

1. Sous-ensemble

On dit que $A$ est un sous-ensemble de $E$ si tous les éléments de $A$ sont aussi dans $E$.

On note : $A \subset E$

2. Inclusion stricte

On dit que $A$ est strictement inclus dans $E$ (c’est-à-dire $A$ est inclus mais différent de $E$) si $A \subset E$ et $A \ne E$.

Exemple :

• Si $E = \{1,2,3,4\}$ et $A = \{1,2\}$ alors $A \subset E$

III. Opérations sur les ensembles

1. Réunion

La réunion de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (ou aux deux).

Exemple :

• $A = \{1, 2, 3\}$ ; $B = \{3, 4, 5\}$

• $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

2. Intersection

L’intersection de $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$.

Exemple :

• $A \cap B = \{3\}$

IV. Complémentaire d’un ensemble

1. Complémentaire

Soit $A$ un sous-ensemble de $E$.
Le complémentaire de $A$ dans $E$, noté :

• $\overline{A}$ ou $E \setminus A$
  est l’ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.

Exemple :

• $E = \{1,2,3,4,5\}$, $A = \{2,4\}$

• $E \setminus A = \{1,3,5\}$

V. Ensembles de nombres et intervalles

1. Ensembles classiques de nombres

• $\mathbb{N}$ : ensemble des entiers naturels ($0, 1, 2, 3,...$)

• $\mathbb{Z}$ : ensemble des entiers relatifs (...$-2, -1, 0, 1, 2,...$)

• $\mathbb{D}$ : ensemble des décimaux

• $\mathbb{Q}$ : ensemble des rationnels (nombres qui s’écrivent sous forme de fraction)

• $\mathbb{R}$ : ensemble des réels

2. Notation des intervalles (dans $\mathbb{R}$)

• Intervalle fermé : $[a ; b]$ : $x$ tel que $a \leq x \leq b$

• Intervalle ouvert : $]a ; b[$ : $x$ tel que $a \lt x \lt b$

• Mixte : $[a ; b[$ ou $]a ; b]$

• Intervalles infinis : $[a ; +\infty[$ ; $]-\infty ; b]$…

Exemple :
L’ensemble des $x$ tels que $2 \leq x \lt 5$ se note $[2 ; 5[$

Exemple d'application global

Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{3, 4, 5\}$

• $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

• $A \cap B = \{3\}$

• $E \setminus A = \{4, 5, 6\}$

• $A \subset E$ ; $B \subset E$ ; $3 \in A \cap B$