Triangles égaux

I. Définition

Deux triangles égaux sont deux triangles qui ont les mêmes dimensions. On dit qu'ils sont superposables.

$AC=GH\;;\; AB=FG\;;\; BC=FH$
Les deux triangles $ABC$ et $GFH$ sont des triangles égaux.
Les côtés $[AC]$ et $[GH]$ ; $[AB]$ et $[FG]$ ;$[BC]$et $[FH]$ sont dits homologues.

Remarque : les deux triangles sont superposables soit par glissement soit par glissement et retournement (comme sur cette figure).

II. Conséquence

Deux triangles égaux ont leurs angles deux à deux de même mesure.

III. Propriétés

Propriété 1 :

Deux triangles sont égaux s'ils ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur

Les angles $\widehat A$ et $\widehat G$ ont même mesure.
L'angle $\widehat A$ est compris entre $[AB]$ et $[AC]$, qui ont respectivement même longueur que $[FG]$ et $[GH]$. L'angle $\widehat G$ est compris entre les côtés $[FG]$ et $[GH]$.
Les deux triangles $ABC$ et $GFH$sont égaux.

Propriété 2

Deux triangles sont égaux s'ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement de même mesure

Les côtés $[AB]$ et $[FG]$ont même mesure.

Le côté $[AB]$ est compris entre les angles A et B, respectivement de même mesure que les angles $\widehat G$ et $\widehat F$.

Le côté $[FG]$est compris entre les angles $\widehat G$ et $\widehat F$.
Les deux triangles $ABC$ et $GFH$ sont égaux.

IV. Un exemple

Énoncé :

En suivant les consignes de l'énoncé, Clémence a dessiné sur son brouillon deux triangles à main levée. La question qu'elle se pose est de savoir si les deux triangles sont égaux ou semblables.

Solution :

Dans le triangle $ABC$, les angles $\widehat A$ et $\widehat C$ ont même mesure $50^\circ$. Le triangle est donc isocèle en $B$.

Dans le triangle $EFG$, les côtés $[FE]$et $[FG]$ ont même mesure. Le triangle $EFG$ est donc isocèle en $F$ et les deux angles de base valent $50^\circ$.

La base $[AB]$ et la base $[EG]$ ont même mesure 7 cm.

Les deux triangles $ABC$ et $EFG$ ont un côté de même mesure compris entre deux angles respectivement égaux deux à deux, les deux triangles sont donc égaux.