Puissances de dix

I) Les points clés

1) Définition

• Le produit de $n$ facteurs tous égaux à 10 se note $10^{n}$.

Le nombre $n$ s'appelle l'exposant. $10^{n}$ est la puissance de « dix exposant $n$ ».

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à zéro :

$10^{n} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times ... \times 10}{n \text{ facteurs}} = \frac{1000 ... 000}{n \text{ zéros}}$

Exemples :

$10^{5} = 100 000$

$1 \text{ milliard} = 10^{9}$

$10 000 000 = 10^{7}$

• On peut noter les cas particuliers suivants : $10^{1} = 10$ et $10^{0} = 1$

2) Écriture scientifique

• L'écriture scientifique d'un nombre est égale au produit d'un nombre décimal supérieur à 1 et strictement inférieur à 10 par une puissance de dix.

Exemples :

L'écriture scientifique de 250 000 est $2,5 \times 10^{5}$.

$0,84 \times 10^{8}$ n'est pas une notation scientifique puisque $0,84 \langle 1$.

II) Un peu de méthode

1) Calculer avec des puissances de dix

Additionner ou soustraire des puissances de dix :

Je dois écrire les nombres sous la forme de nombres entiers.

Exemple :

$10^{4} + 10^{2} = 10 000 + 100 = 10 100$

Multiplier des puissances de dix :

J'ajoute les exposants.

Exemple :

$10^{2} \times 10^{3} = 100 \times 1 000 = 100 000 = 10^{5}$

Diviser des puissances de dix :

Je soustrais les exposants.

Exemple :

$\frac{10^{7}}{10^{3}} = \frac{10 000 000}{1 000} = 10 000 = 10^{4}$

Exemples :

• $10^{3} - 10^{2} = 1 000 - 100 = 900$
• $10^{7} \times 10^{4} = 10^{7 +4} = 10^{11}$
• $10^{21} \times 10^{9} = 10^{21+9} = 10^{30}$
• $\frac{10^{19}}{10^{8}} = 10^{19-8} = 10^{11}$

2) Écrire un nombre en écriture scientifique

$364 000 000 = 3,64 \times 100 000 000 = 3,64 \times 10^{8}$

$268,75 \times 10^{5} = 2,6875 \times 10^{2} \times 10^{5} = 2,6875 \times 10^{7}$